2009蘇北四市高三年級(jí)調(diào)研考試

    數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項(xiàng):

1、本試題由必做題與附加題兩部分組成,選修歷史的考生僅需對(duì)試題中的必做題部分做答,考試時(shí)間為120分鐘；選修物理的考生需對(duì)試題中的必做題和附加題這兩部分作答,考試時(shí)間為150分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．

2、答題前，請(qǐng)您務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試證號(hào)用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡上規(guī)定的地方.

3、作題時(shí)必須用書(shū)寫(xiě)黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫(xiě)在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無(wú)效.

參考公式：　

線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)公式：

線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式：，其中，．

 

必做題部分（滿(mǎn)分160分)

(考試時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：160分)

一.填空題

1．已知數(shù)集中有三個(gè)元素，那么x的取值范圍為  ▲  .

2. 函數(shù)的增區(qū)間為  ▲  .

3.已知是菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，則 ▲  .

4. 一個(gè)算法如下：第一步：s取值0，i取值1

                  第二步：若i不大于12，則執(zhí)行下一步；否則執(zhí)行第六步

                  第三步：計(jì)算S＋i并將結(jié)果代替S

                  第四步：用i＋2的值代替i

                  第五步：轉(zhuǎn)去執(zhí)行第二步

                  第六步：輸出S

則運(yùn)行以上步驟輸出的結(jié)果為  ▲  .

5.已知復(fù)數(shù)若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m=  ▲  .

6.一個(gè)總體中的80個(gè)個(gè)體編號(hào)為0，l，2，……，79，并依次將其分為8個(gè)組，組號(hào)為0，1，…，7，要用（錯(cuò)位）系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為8的樣本．即規(guī)定先在第0組隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼，記為i，依次錯(cuò)位地得到后面各組的號(hào)碼，即第k組中抽取個(gè)位數(shù)為i+k（當(dāng)i＋k<10）或i+k－10（當(dāng)i＋k≥10）的號(hào)碼．在i=6時(shí)，所抽到的8個(gè)號(hào)碼是▲  .

7.過(guò)△ABC的重心任作一直線(xiàn)分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若，，，則的值為▲  .

8．曲線(xiàn)在它們的交點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)互相垂直，則的值是▲  .

9.橢圓，右焦點(diǎn)F（c,0），方程的兩個(gè)根分別為x1,x2，則點(diǎn)P（x1,x2）在與圓的位置關(guān)系是▲  .

10.給出下列關(guān)于互不相同的直線(xiàn)m、l、n和平面α、β的四個(gè)命題：

  ①若；

  ②若m、l是異面直線(xiàn)，；

③若；

  ④若

其中為真命題的是▲  .

11．若方程的解為，則不等式的最大整數(shù)解是▲  .．

12.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若是鈍角，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為▲  .

13．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，

，則不等式的解集是▲  .

14．若RtΔABC中兩直角邊為a、b,斜邊c上的高為h，則，如圖，在正方體的一角上截取三棱錐P-ABC，PO為棱錐的高，記M=,N=,那么M、N的大小關(guān)系是▲  ．

二.解答題

15. (本題滿(mǎn)分14分)

已知

（1）的解析表達(dá)式；

（2）若角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)的值域．

 

 

 

 

 

 

 

 

16. (本題滿(mǎn)分14分)

如圖，已知空間四邊形中，，是的中點(diǎn)．

求證：（1）平面CDE；

（2）平面平面． 

（3）若G為的重心,試在線(xiàn)段AE上確定一點(diǎn)F,使得GF平面CDE．

 

 

 

 

 

 

 

17.(本題滿(mǎn)分14分) 某食品公司為了解某種新品種食品的市場(chǎng)需求，進(jìn)行了20天的測(cè)試，人為地調(diào)控每天產(chǎn)品的單價(jià)（元/件）：前10天每天單價(jià)呈直線(xiàn)下降趨勢(shì)（第10天免費(fèi)贈(zèng)送品嘗），后10天呈直線(xiàn)上升，其中4天的單價(jià)記錄如下表：

時(shí)間（將第x天記為x）x

1

10

11

18

單價(jià)（元/件）P

9

0

1

8

而這20天相應(yīng)的銷(xiāo)售量（百件/天）與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在如圖所示的半圓上．

（Ⅰ）寫(xiě)出每天銷(xiāo)售收入（元）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）在這20天中哪一天銷(xiāo)售收入最高？為使每天銷(xiāo)售收入最高，按此次測(cè)試結(jié)果應(yīng)將單價(jià)定為多少元為好？（結(jié)果精確到1元）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18．(本題滿(mǎn)分16分)有如下結(jié)論：“圓上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為

”，類(lèi)比也有結(jié)論：“橢圓處的切

線(xiàn)方程為”，過(guò)橢圓C：的右準(zhǔn)線(xiàn)l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的

兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為 A、B.

（1）求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)一定點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. (本題滿(mǎn)分16分)

已知函數(shù)(其中) ,

點(diǎn)從左到右依次是函數(shù)圖象上三點(diǎn),且.

（Ⅰ） 證明: 函數(shù)在上是減函數(shù)；

（Ⅱ）求證：ㄓ是鈍角三角形;

(Ⅲ) 試問(wèn),ㄓ能否是等腰三角形?若能,求ㄓ面積的最大值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

20．（本題滿(mǎn)分16分）

已知函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)于一切有，且．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，設(shè)．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并指出公比；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若（為常數(shù)），求數(shù)列從第幾項(xiàng)起，后面的項(xiàng)都滿(mǎn)足．

 

 

附加題

1．（本小題滿(mǎn)分10分）

設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到倍的伸壓變換．

（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；

（Ⅱ）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線(xiàn)的方程．

2.已知A是曲線(xiàn)ρ=3cosθ上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線(xiàn)ρcosθ=1距離的最大值和最小值

3.某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件．一用戶(hù)在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬槿?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．

4. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知。

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（I）求證：平面；

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（II）求到平面的距離；

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（III）求二面角余弦值的大小。

 

 

 

答案

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1.2. 3. 6或14   4.36   5. 2

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6.6，17，28，39，40，51，62，73    7.3    8.

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9.點(diǎn)P（x1,x2）在圓內(nèi)10.①②④11. 212.

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13.14.M=N

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15. 解：（1）由，得

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，…………………………2分

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，

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， ，

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于是， ，

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∴，即．…………………………7分

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（2）∵角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，∴0<≤,,………………10分

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設(shè),則≥（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取=）,………12分

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故函數(shù)的值域?yàn)?sub>．………………………………14分

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16．證明：（1）同理，

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又∵       ∴平面．　　…………………5分

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（2）由（1）有平面

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又∵平面，    ∴平面平面．………………9分

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（3）連接AG并延長(zhǎng)交CD于H，連接EH，則，

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在AE上取點(diǎn)F使得，則，易知GF平面CDE．…………………14分

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17.解：（1），                           ………3分

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，，                          ………6分

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    ∴。      ………8分

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   （2）∵，……11分

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∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值。……13分

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∵，∴取時(shí)，（元），

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此時(shí)，（元）。答：第3天或第17天銷(xiāo)售收入最高，此時(shí)應(yīng)將單價(jià)定為7元為好

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18. 解：（1）設(shè)M

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∵點(diǎn)M在MA上∴  ①……………………3分

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同理可得②…………………………5分

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由①②知AB的方程為…………6分

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易知右焦點(diǎn)F（）滿(mǎn)足③式，故AB恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F（）……8分

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（2）把AB的方程

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∴……………………12分

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又M到AB的距離

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∴△ABM的面積……………………15分

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19解：(Ⅰ)  

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…………………………

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所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù). …………………………4分

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（Ⅱ） 證明:據(jù)題意且x1<x2<x3,

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由(Ⅰ)知f (x1)>f (x2)>f (x3),  x2=…………………………6分

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…………………8分

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即ㄓ是鈍角三角形……………………………………..10分

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（Ⅲ）假設(shè)ㄓ為等腰三角形，則只能是

 

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即

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  ①          …………………………………………..14分

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而事實(shí)上,    ②

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由于,故(2)式等號(hào)不成立.這與式矛盾. 所以ㄓ不可能為等腰三角形..16分

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20. [解]

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（Ⅰ）

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     … 2分

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故數(shù)列為等比數(shù)列，公比為３.               ………       4分

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（Ⅱ）

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                    ………      6分

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所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為 loga3的等差數(shù)列.

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又

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                                ………     8分

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又=1+3,且

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     ………      10分

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（Ⅲ）

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假設(shè)第項(xiàng)后有

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      即第項(xiàng)后，于是原命題等價(jià)于

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        ………       15分

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  故數(shù)列從項(xiàng)起滿(mǎn)足．       ………       16分

附加題

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1. 解：（Ⅰ）由條件得矩陣，

 

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它的特征值為和，對(duì)應(yīng)的特征向量為及；

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（Ⅱ），

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橢圓在的作用下的新曲線(xiàn)的方程為．

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2. 已知A是曲線(xiàn)ρ=3cosθ上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)A到直線(xiàn)ρcosθ=1距離的最大值和最小值。

將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程：

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ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－)2＋y2=

ρcosθ=1即x=1直線(xiàn)與圓相交。

所求最大值為2，最小值為0

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3. 解：（Ⅰ）ξ可能的取值為0，1，2，3．

P(ξ＝0)＝?＝＝P(ξ＝1)＝?＋?＝P(ξ＝2)＝?＋?＝

P(ξ＝3)＝?＝． ξ的分布列為

ξ

0

1

2

3

P

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數(shù)學(xué)期望為Eξ＝1.2．

(Ⅱ)所求的概率為

p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝

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4（解：（I）如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?sub>，

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       所以，又平面，

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       以為軸建立空間坐標(biāo)系，

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       則，，，

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，，

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，，

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，由，知，

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       又，從而平面；

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       （II）由，得。

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       設(shè)平面的法向量為，，，所以

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，設(shè)，則

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       所以點(diǎn)到平面的距離。

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       （III）再設(shè)平面的法向量為，，，

       所以

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，設(shè)，則，

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       故，根據(jù)法向量的方向，

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       可知二面角的余弦值大小為

 

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