從最簡(jiǎn)情形出發(fā)

周奕生

    當(dāng)問題比較復(fù)雜，感到困難，不易下手時(shí)，就可以適當(dāng)?shù)亍巴恕�，甚至可“退”到最�?jiǎn)單的情形，然后由此出發(fā)去分析，可能會(huì)巧妙地突破，請(qǐng)看

    例1  甲乙兩人輪流在圓形桌面上玩擺硬幣游戲，規(guī)定硬幣大小相同，不能重疊，誰(shuí)擺下最后一枚誰(shuí)獲勝。你知道獲勝的策略嗎？

    分析：一個(gè)大大的圓桌究竟可以容下多少枚小小的硬幣呢？這是多數(shù)解答者面臨的困境之一。但如果告訴你圓形的桌面很小，小到和硬幣一樣小，或者告訴你硬幣很大，大到和圓形桌面一樣大，這時(shí)應(yīng)該說連三歲的小孩都知道先擺的人獲勝。事實(shí)上也是如此。不論桌面和硬幣的大小如何，先擺者只要將第一枚放在正中央，接下來(lái)只要后擺者能擺下一枚，先擺者也總可以擺下一枚，這是由于圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)于每確定的一個(gè)點(diǎn)，總存在一個(gè)關(guān)于圓心對(duì)稱的點(diǎn)。因此，先擺者獲勝。

    象上述這種思考問題的方法我們稱為簡(jiǎn)約思維法，簡(jiǎn)約思維法實(shí)際上就是將繁雜問題的背景簡(jiǎn)單化，將一般問題特殊化。再看以下幾例。

    例2  某錄像廳原門票一張6元，降價(jià)后平均每場(chǎng)的觀眾可以增加3倍，收入增加了2倍，問每張門票降價(jià)多少元？

    分析  按一般的思路求解的方法大多是：設(shè)門票降價(jià)x元，原有觀眾a人，則原收入6a元，降價(jià)后收入4a（6－x）元，依題意，得

    4a（6－x）=18a，解得x=1.5

    因此，降價(jià)1.5元。

    現(xiàn)在我們問題的背景簡(jiǎn)化為：原來(lái)的觀眾只有一人，則原收入6元，降價(jià)后觀眾有4人，收入18元，因此，降價(jià)后的門票價(jià)格是每張4.5元，降價(jià)了1.5元。

    例3  四只螞蟻分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)沿正方形的邊爬行，如果它們的速度相同，那么這四只螞蟻不相撞的概率是多少？

    分析：許多人的解法是：將每只螞蟻可能爬行的方向（順時(shí)針和逆時(shí)針）一一羅列出來(lái)，然后確定不相撞的情形（都按順時(shí)針或逆時(shí)針方向爬行）求解。而事實(shí)上，我們可以先確定第一只螞蟻爬行的方向，為了不相撞，其余三只螞蟻爬行的方向必須與第一只相同，而每只螞蟻爬行方向與第一只相同的概率都是，因此，三只螞蟻爬行與第一只都相同的概率是，這就是四只螞蟻不相撞的概率。

    例4  某船拖一橡皮筏沿江逆流而上，在A處由于繩子斷開，橡皮筏順流漂走了10分鐘后船上的人才知道，立即掉頭追趕。假設(shè)船掉頭的時(shí)間忽略不計(jì)，問需要多少分鐘才能追上？

    分析：許多解題者一見到這個(gè)題目都認(rèn)為題設(shè)條件似乎不足，一旦確定題目無(wú)誤后采用的解法大多是運(yùn)用“設(shè)而不求”法，即設(shè)船在靜水中的速度為a，水流的速度為b等等。而事實(shí)上題目并沒有告訴我們水流速度如何如何，我們完全可以假定水是靜止的，這樣問題豈不是很簡(jiǎn)單了嗎？

    在水為靜止的前提下，繩子斷開后橡皮筏也是靜止的，始終呆在A處，船是在靜水中行駛，往返的速度相同，行駛的距離也是相同的，因此，船離開A處和返回到A處的時(shí)間相同，也是10分鐘，故船需要10分鐘才能追上橡皮筏。