四川師大附中高2006屆高三數(shù)學總復習(十二)

§12. 極 限  知識要點

1. ⑴第一數(shù)學歸納法:①證明當取第一個時結(jié)論正確;②假設(shè)當)時,結(jié)論正確,證明當時,結(jié)論成立.

⑵第二數(shù)學歸納法:設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題,如果

①當)時,成立;

②假設(shè)當)時,成立,推得時,也成立.

那么,根據(jù)①②對一切自然數(shù)時,都成立.

2. ⑴數(shù)列極限的表示方法:

②當時,.

⑵幾個常用極限:

為常數(shù))

③對于任意實常數(shù),

時,

時,若a = 1,則;若,則不存在

時,不存在

⑶數(shù)列極限的四則運算法則:

如果,那么

特別地,如果C是常數(shù),那么

.

⑷數(shù)列極限的應(yīng)用:

求無窮數(shù)列的各項和,特別地,當時,無窮等比數(shù)列的各項和為.

(化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)方法同上式)

注:并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.

3. 函數(shù)極限;

⑴當自變量無限趨近于常數(shù)(但不等于)時,如果函數(shù)無限趨進于一個常數(shù),就是說當趨近于時,函數(shù)的極限為.記作或當時,.

注:當時,是否存在極限與處是否定義無關(guān),因為并不要求.(當然,是否有定義也與處是否存在極限無關(guān).函數(shù)有定義是存在的既不充分又不必要條件.)

處無定義,但存在,因為在處左右極限均等于零.

⑵函數(shù)極限的四則運算法則:

如果,那么

特別地,如果C是常數(shù),那么

.

注:①各個函數(shù)的極限都應(yīng)存在.

②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況,但不能推廣到無限個情況.

⑶幾個常用極限:

(0<<1);>1)

,

4. 函數(shù)的連續(xù)性:

⑴如果函數(shù)f(x),g(x)在某一點連續(xù),那么函數(shù)在點處都連續(xù).

⑵函數(shù)f(x)在點處連續(xù)必須滿足三個條件:

①函數(shù)f(x)在點處有定義;②存在;③函數(shù)f(x)在點處的極限值等于該點的函數(shù)值,即.

⑶函數(shù)f(x)在點處不連續(xù)(間斷)的判定:

如果函數(shù)f(x)在點處有下列三種情況之一時,則稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點.

①f(x)在點處沒有定義,即不存在;②不存在;③存在,但.

5. 零點定理,介值定理,夾逼定理:

⑴零點定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且.那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點,即至少有一點)使.

⑵介值定理:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值,,那么對于之間任意的一個數(shù),在開區(qū)間內(nèi)至少有一點,使得).

⑶夾逼定理:設(shè)當時,有,且,則必有

注::表示以為的極限,則就無限趨近于零.(為最小整數(shù))

6. 幾個常用極限:

為常數(shù))

為常數(shù))


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