四川師大附中高2006屆高三數(shù)學總復習（十二）

§12. 極 限  知識要點

1. ⑴第一數(shù)學歸納法：①證明當取第一個時結(jié)論正確；②假設(shè)當（）時，結(jié)論正確，證明當時，結(jié)論成立.

⑵第二數(shù)學歸納法：設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設(shè)當（）時，成立，推得時，也成立.

那么，根據(jù)①②對一切自然數(shù)時，都成立.

2. ⑴數(shù)列極限的表示方法：

①

②當時，.

⑵幾個常用極限：

①（為常數(shù)）

②

③對于任意實常數(shù)，

當時，

當時，若a = 1，則；若，則不存在

當時，不存在

⑶數(shù)列極限的四則運算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數(shù)，那么

.

⑷數(shù)列極限的應(yīng)用：

求無窮數(shù)列的各項和，特別地，當時，無窮等比數(shù)列的各項和為.

（化循環(huán)小數(shù)為分數(shù)方法同上式）

注：并不是每一個無窮數(shù)列都有極限.

3. 函數(shù)極限；

⑴當自變量無限趨近于常數(shù)（但不等于）時，如果函數(shù)無限趨進于一個常數(shù)，就是說當趨近于時，函數(shù)的極限為.記作或當時，.

注：當時，是否存在極限與在處是否定義無關(guān)，因為并不要求.（當然，在是否有定義也與在處是否存在極限無關(guān).函數(shù)在有定義是存在的既不充分又不必要條件.）

如在處無定義，但存在，因為在處左右極限均等于零.

⑵函數(shù)極限的四則運算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數(shù)，那么

.

（）

注：①各個函數(shù)的極限都應(yīng)存在.

②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.

⑶幾個常用極限：

①

②（0＜＜1）；（＞1）

③

④，（）

4. 函數(shù)的連續(xù)性：

⑴如果函數(shù)f（x），g（x）在某一點連續(xù)，那么函數(shù)在點處都連續(xù).

⑵函數(shù)f（x）在點處連續(xù)必須滿足三個條件：

①函數(shù)f（x）在點處有定義；②存在；③函數(shù)f（x）在點處的極限值等于該點的函數(shù)值，即.

⑶函數(shù)f（x）在點處不連續(xù)（間斷）的判定：

如果函數(shù)f（x）在點處有下列三種情況之一時，則稱為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點.

①f（x）在點處沒有定義，即不存在；②不存在；③存在，但.

5. 零點定理，介值定理，夾逼定理：

⑴零點定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且.那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少有一點（＜＜）使.

⑵介值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值，，那么對于之間任意的一個數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點，使得（＜＜）.

⑶夾逼定理：設(shè)當時，有≤≤，且，則必有

注：：表示以為的極限，則就無限趨近于零.（為最小整數(shù)）

6. 幾個常用極限：

①

②

③為常數(shù)）

④

⑤為常數(shù)）