四川師大附中高2006屆高三數(shù)學總復(fù)習(十四)實驗修訂版

§14. 復(fù) 數(shù)  知識要點

1. ⑴復(fù)數(shù)的單位為i,它的平方等于-1,即.

⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念:

①      復(fù)數(shù)―形如a + bi的數(shù)(其中);

②      實數(shù)―當b = 0時的復(fù)數(shù)a + bi,即a;

③      虛數(shù)―當時的復(fù)數(shù)a + bi;

④      純虛數(shù)―當a = 0且時的復(fù)數(shù)a + bi,即bi.

⑤      復(fù)數(shù)a + bi的實部與虛部―a叫做復(fù)數(shù)的實部,b叫做虛部(注意a,b都是實數(shù))

⑥      復(fù)數(shù)集C―全體復(fù)數(shù)的集合,一般用字母C表示.

⑶兩個復(fù)數(shù)相等的定義:

.

⑷兩個復(fù)數(shù),如果不全是實數(shù),就不能比較大小.

注:①若為復(fù)數(shù),則,則.(×)[為復(fù)數(shù),而不是實數(shù)]

,則.(√)

②若,則必要不充分條件.(當,

時,上式成立)

2. ⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點間距離公式:.

其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點所對應(yīng)的復(fù)數(shù),間的距離.

由上可得:復(fù)平面內(nèi)以為圓心,為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程:.

⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式:

為圓心,r為半徑的圓的方程.

表示線段的垂直平分線的方程.

為焦點,長半軸長為a的橢圓的方程(若,此方程表示線段).

表示以為焦點,實半軸長為a的雙曲線方程(若,此方程表示兩條射線).

⑶絕對值不等式:

設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù),則

.

左邊取等號的條件是,右邊取等號的條件是.

.

左邊取等號的條件是,右邊取等號的條件是.

注:.

3. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):

                                          

,a + bi)              

                                 

)                              

注:兩個共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). (×)[之差可能為零,此時兩個復(fù)數(shù)是相等的]

4. ⑴①復(fù)數(shù)的乘方:

②對任何,

 

注:①以上結(jié)論不能拓展到分數(shù)指數(shù)冪的形式,否則會得到荒謬的結(jié)果,如若由就會得到的錯誤結(jié)論.

②在實數(shù)集成立的. 當為虛數(shù)時,,所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結(jié)論:

   

是1的立方虛數(shù)根,即,則                                                  .

5.  ⑴復(fù)數(shù)是實數(shù)及純虛數(shù)的充要條件:

.

②若,是純虛數(shù).

⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起點在哪里,都認為是相等的,而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例:零向量的方向是任意的,其模為零.

注:.

6. ⑴復(fù)數(shù)的三角形式:.

輻角主值:適合于0≤的值,記作.

注:①為零時,可取內(nèi)任意值.

②輻角是多值的,都相差2的整數(shù)倍.

③設(shè).

⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化:

,,.

⑶幾類三角式的標準形式:

7. 復(fù)數(shù)集中解一元二次方程:

在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程時,應(yīng)注意下述問題:

①當時,若>0,則有二不等實數(shù)根;若=0,則有二相等實數(shù)根;若<0,則有二相等復(fù)數(shù)根為共軛復(fù)數(shù)).

②當不全為實數(shù)時,不能用方程根的情況.

③不論為何復(fù)數(shù),都可用求根公式求根,并且韋達定理也成立.

8. 復(fù)數(shù)的三角形式運算:

棣莫弗定理:.


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