1.  f(n)是定義在正整數(shù)上且取值為非負(fù)整數(shù)的函數(shù)，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333，并對(duì)所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。試求出f(1982)。

2.  A₁A₂A₃是不等腰三角形，其三邊為a₁, a₂, a₃ ，其中a_i 是角 A_i的對(duì)邊， 設(shè) M_i 是邊 a_i 的中點(diǎn)，T_i是三角形的內(nèi)切圓在邊 a_i上的切點(diǎn)，記S_i為點(diǎn) T_i 關(guān)于內(nèi)角A_i的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)，求證線M₁S₁, M₂S₂ 和M₃S₃共點(diǎn)。

3.  考慮無限正實(shí)數(shù)序列 {x_n} 滿足x₀ = 1 及 x₀ >= x₁ >= x₂ >= ... ，

x₀²/x₁ + x₁²/x₂ + ... + x_n-1²/x_n >= 3.999.

b.    試尋找一個(gè)這樣的序列使其滿足

 x₀²/x₁ + x₁²/x₂ + ... + x_n-1²/x_n < 4   對(duì)所有n成立。

4.  n使正整數(shù)，求證如果方程 x³ - 3xy² + y³ = n有關(guān)于整數(shù)x,y的一個(gè)解，則其至少有三個(gè)解；當(dāng)n=2891時(shí)再證明這個(gè)方程無整數(shù)解。

5.  正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE上分別有分點(diǎn)M、N并且 AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共線，試求r的值。

6.  設(shè)S是邊長(zhǎng)為100的正方形，L是在S內(nèi)部不自交的系列線段A₀A₁, A₁A₂, A₂A₃, ... , A_n-1A_n 并且A₀ 與 A_n不重合。已知對(duì)于每一個(gè)在S邊界上的點(diǎn)P，L中存在一個(gè)點(diǎn)與P之間的距離不大于1/2。求證：L中存在兩點(diǎn)X、Y，X與Y的距離不大于1，并且L上位于X和Y之間的部分不少于198。