1. 試找出所有定義在正實(shí)數(shù)并取值正實(shí)數(shù)的函數(shù) f,使其滿足 f(x(f(y)) = yf(x)對(duì)所有x, y成立,并且當(dāng) x 趨向于無窮大時(shí) f(x) 趨向于0.
2. 圓C1、C2 的圓心分別是O1 、O2,它們相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),設(shè)A是其中一個(gè)交點(diǎn)。這兩個(gè)圓的一條公切線切C1、 C2 分別于點(diǎn) P1、P2,另外一條公切線分別切C1、 C2 于點(diǎn) Q1、Q2,再設(shè)M1、M2分別是P1Q1和P2Q2的中點(diǎn),求證:角O1AO2 = 角 M1AM2。
3. a , b, c是正整數(shù),并且它們中的任何兩個(gè)都沒有大于1的公約數(shù)。求證 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整數(shù),其中x, y, z是非負(fù)整數(shù)。
4. 等邊三角形ABC,設(shè)集合E是該三角形的所有邊界點(diǎn)(即邊AB,BC,CA),任意將E分拆成兩個(gè)不相交的子集合(它們的并集是E),試證明這兩個(gè)集合中的至少一個(gè)包含有三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形。
5. 問是否可能存在小于或等于105的1983個(gè)不同的正整數(shù),任何三個(gè)都不構(gòu)成一等茶數(shù)列。
6. 設(shè)a,b,c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),求證
a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) >= 0.
并判斷何時(shí)等號(hào)成立。
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