1.  求證 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, 其中x, y， z 是非負(fù)實(shí)數(shù)并滿足x + y + z = 1.

2.  試找出所有的正整數(shù)對(duì)（a,b）滿足 ab(a+b)不能被 7 整除, 但 (a+b)⁷ - a⁷ - b⁷ 可被7⁷整除。

3.  給定平面上的點(diǎn)O、A。平面上的每個(gè)點(diǎn)都被染色成有限種顏色中的一個(gè)。設(shè)X是平面上一給定點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓C(X)的半徑是 OX + (∠ AOX)/OX，其中角∠ AOX是用弧度衡量（即范圍是[0, 2л)），求證能夠找到不在OA上的一點(diǎn)X使得它的顏色出現(xiàn)在圓C(X)的圓周上。

4.  凸四邊形ABCD的邊CD與以AB為直徑的圓相切，求證：AB與以CD為直徑的圓相且當(dāng)且僅當(dāng)BC和AD是平行的。

5.  設(shè) d 是平面上一凸 n 邊形（n>3）的所有對(duì)角線的長(zhǎng)度之和，p 是它的周長(zhǎng)。求證:

 n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2,

其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)。

6. 0 < a < b < c < d 是四個(gè)奇數(shù)且 ad = bc. 若a + d = 2^k 及 b + c = 2^m 對(duì)某k、m成立,則

a = 1.