2009 年 湖 南 省 六 校 聯(lián) 考

湖南師大附中 長沙市一中 常德市一中 株洲市二中 湘潭市一中

數(shù)學(xué)試題(文科)

 

時(shí)量:120分鐘   滿分:150分

 

一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.集合等于

                                                                                                                              (    )

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       A.{(1,0)}        B.   C.{1,0}               D.

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2.若向量a,b滿足:(a-b)?(2a+b)= -4,且|a|=2,|b|=4,則a與b的夾角等于(    )

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       A.                   B.                   C.                      D.

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3.在等比數(shù)列中,若,的值是(    )

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       A.                      B.                    C.                    D.

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4.圓心在拋物線上,且與該拋物線的準(zhǔn)線和x軸都相切的圓的方程是      (    )

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       A.                     B.

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       C.                   D.

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5.已知命題p:關(guān)于x的不等式的解集為R;命題

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上為減函數(shù),則p是q成立的                         (    )

       A.必要不充分條件                                 B.充分不必要條件

       C.充要條件                                           D.既不充分也不必要條件

 

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6.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為―2,則的取值范圍是

                                                                                                                              (    )

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       A.              B.             C.              D.

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8.,則不大于S的最大整數(shù)[S]等于                                                                    (    )

       A.2008                   B.2009                   C.2010                   D.2011

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二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,共35分.將答案填在題中橫線上.

9.在的二項(xiàng)展開式中,若中間項(xiàng)的系數(shù)是160,則實(shí)數(shù)a=            .

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10.現(xiàn)有同一型號的汽車50輛,為了了解這種汽車的每耗油1升所行路程的情況,要從中抽出5輛汽車做在同一條件下進(jìn)行耗油1升所行路程的試驗(yàn),得到如下數(shù)據(jù)(單位:km):11,15,9,12,13,則樣本方差是           .

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11.一名高三學(xué)生希望報(bào)名參加某6所高校中的3所學(xué)校的自主招生考試,由于其中兩所學(xué)校的考試時(shí)間相同,因此,該學(xué)生不能同時(shí)報(bào)考這兩所學(xué)校,則不同的報(bào)名方法是

           種(用數(shù)字作答).

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12.若正三棱柱的底面邊長為3,側(cè)棱長為,則該棱柱的外接球的表面積為           .

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13.已知拋物線的焦點(diǎn)F恰好是橢圓的右焦點(diǎn),且兩條曲線的公共點(diǎn)的連線過F,則該橢圓的離心率為           .

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14.已知函數(shù)的最大值為      .

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15.定義在N上的函數(shù),

則集合A的子集個(gè)數(shù)為           .

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三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

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△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C,當(dāng)取得最大值.

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   (1)求的值;

   (2)如果∠A的對邊等于2,求△ABC的面積的最大值。

 

 

 

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17.(本小題滿分12分)

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       在一次人才招聘會上,小明同時(shí)參加了甲、乙、丙三家公司的招聘面試,小明在三家公司面試合格的概率分別為0.8,0.6,0.5.且在三家公司面試是否合格互不影響,求:

   (1)小明在三家公司至少有一家面試合格的概率;

   (2)小明在任意兩家公司至少有一家面試合格的概率.

 

 

 

 

 

 

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18.(本小題滿分12分)

       如圖在平行六面體ABCD―A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,頂點(diǎn)D1在底面ABCD上的射影O是CD的中點(diǎn),側(cè)棱與底面所成的角為60°.

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   (2)求點(diǎn)O到平面AA1D1D的距離;

   (3)求二面角C―AD1―O的大小.

 

 

 

 

 

 

 

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19.(本小題滿分13分)

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   (1)試寫出的值;

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   (2)歸納出之間的關(guān)系式,并求出的表達(dá)式;

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   (3)證明:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小題滿分13分)

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     已知曲線

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   (1)由曲線C上任一點(diǎn)E向軸作垂線,垂足為F,動點(diǎn)P滿足,求P的軌跡方程,點(diǎn)P的軌跡可能是圓嗎?請說明理由;

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   (2)如果直線的斜率為,直線交曲線C于A、B兩點(diǎn),求的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21.(本小題滿分13分)

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       設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).

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   (1)若的解析式;

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   (2)若的最大值;

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   (3)設(shè)函數(shù)時(shí),求證:

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.

 

 

 

 

 

 

 

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一、

ABCBA  CDB

二、

9.―2       10.4      11.16      12.36       13.   

14.    15.64

三、

16.解:(1)

…………………………2分

………………4分

取得最大值為,

…………………………6分

(2)設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c

由(1)知:

由余弦定理得:

……………………8分

,

      

       當(dāng)且僅當(dāng)    12分

17.解:記事件A、B、C分別表示小明在甲、乙、丙三家公司面試合格,則

      

   (I)三家公司至少有一家面試合格的概率為:

      

       在三家公司至少有一家面試合格的概率為0.96.       6分

   (II)任兩家公司至少有一家面試合格的概率等價(jià)于在三家公司至少有兩家面試合格的概率,

      

             8分

      

       在任意兩家公司至少有一家面試合格的概率為0.7        12分

18.解 :(I)D1在平面ABCD上的射影為O,

             2分

       點(diǎn)O為DC的中點(diǎn),DC=2,

       OC=1.

       又

       同理

      

       平面D1AO.      4分

   (II)平面ABCD,

           

       又平面D1DO.

      

       ,

       在平面D1DO內(nèi),作

       垂足為H,則平面ADD1A1

       線段OH的長為點(diǎn)O到平面ADD1A1的距離.       6分

       平面ABCD,

       在平面ABCD上的射影為DO.

       為側(cè)棱DD1與底面ABCD所成的角,

      

       在

       即點(diǎn)O到平面ADD1A1的距離為    8分

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       平面ABCD,

      

       又平面AOD1,

       又,

       為二面角C―AD1―O的平面角      10分

       在

      

       在

      

       取D1C的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,

       則

      

      

       在

       二面角C―AD1―O的大小為      12分

19.解:(I)

           3分

   (II)因?yàn)?sub>

      

       歸納得

       則     5分

      

      

             7分

   (III)當(dāng)

             9分

       則

      

              13分

20.解:(I)設(shè)

      

      

              3分

       代入為P點(diǎn)的軌 跡方程.

       當(dāng)時(shí),P點(diǎn)的軌跡是圓.     6分

   (II)由題設(shè)知直線的方程為,

       設(shè)

       聯(lián)立方程組

       消去     8分

* 方程組有兩個(gè)不等解,

      

      

       而

           10分

       當(dāng)

       當(dāng)

       當(dāng)

       綜上,      13分

21.解:(1)

          1分

       依題意有

      

       解得

            4分

   (2).

       依題意,是方程的兩個(gè)根,

      

      

      

               6分

       設(shè)

       由;

       由

       所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間[4,6]上是減函數(shù).

       有極大值為96,

       上的最大值為96.

              9分

   (III)的兩根,

       .

      

       ∴

=          11分

       ∵,

      

       即

      

       成立          13分

 

 


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