2009年高考數(shù)學(xué)難點突破專題輔導(dǎo)三十一

難點31  數(shù)學(xué)歸納法解題

數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.

●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1?2²+2?3²+…+n(n+1)²=(an²+bn+c).

●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等時，均有：aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.

知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.

錯解分析：應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.

技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(a^k－c^k)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而a^k+1+c^k+1＞a^k?c+c^k?a.

證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=2時，由2(a²+c²)＞(a+c)²，∴

②設(shè)n=k時成立，即

則當(dāng)n=k+1時， (a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)

＞(a^k+1+c^k+1+a^k?c+c^k?a)=(a^k+c^k)(a+c)

＞()^k?()=()^k+1

［例2］在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列.

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表達(dá)式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；

(3)求數(shù)列{a_n}所有項的和.

命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識.

知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.

錯解分析：(2)中，S_k=－應(yīng)舍去，這一點往往容易被忽視.

技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式.

解：∵a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列，∴S_n²=a_n?(S_n－)(n≥2)                       (^*)

(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－

由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－

同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=

(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時，由(^*)知猜想成立.

②假設(shè)n=k(k≥2)時，a_k=－成立

故S_k²=－?(S_k－)

∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0

∴S_k= (舍)

由S_k+1²=a_k+1?(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=對一切n∈N成立.

(3)由(2)得數(shù)列前n項和S_n=,∴S=S_n=0.

●錦囊妙記

(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若

1°P(n₀)成立(奠基)

2°假設(shè)P(k)成立(k≥n₀)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立.

(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

試題詳情

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有

于是，對n=1,2,3下面等式成立

1?2²+2?3²+…+n(n+1)²=

記S_n=1?2²+2?3²+…+n(n+1)²

設(shè)n=k時上式成立，即S_k= (3k²+11k+10)

那么S_k+1=S_k+(k+1)(k+2)²=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)²

= (3k²+5k+12k+24)

=［3(k+1)²+11(k+1)+10］

也就是說，等式對n=k+1也成立.

綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

證明：n=1,2時，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時，

f(k)=(2k+7)?3^k+9能被36整除，則n=k+1時，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)?3^k+1?－(2k+7)?3^k

=(6k+27)?3^k－(2k+7)?3^k

=(4k+20)?3^k=36(k+5)?3^k－2?(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.

答案：C

2.解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗證n=3.

答案：C

二、3.解析：

(n∈N^*)

(n∈N^*)

、、、 

三、5.證明：(1)當(dāng)n=1時，4^2×1+1+3¹⁺²=91能被13整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，4^2k+1+3^k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時，

4^2(k+1)+1+3^k+3=4^2k+1?4²+3^k+2?3－4^2k+1?3+4^2k+1?3

=4^2k+1?13+3?(4^2k+1+3^k+2?)

∵4^2k+1?13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除

∴當(dāng)n=k+1時也成立.

由①②知，當(dāng)n∈N^*時，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除.

6.證明：(1)當(dāng)n=2時，

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即

7.(1)解：設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d,由題意得,∴b_n=3n－2

(2)證明：由b_n=3n－2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+ )］

而log_ab_n+1=log_a,于是，比較S_n與log_ab_n+1?的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)

①當(dāng)n=1時，已驗證(^*)式成立.

②假設(shè)n=k(k≥1)時(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

則當(dāng)n=k+1時，

,即當(dāng)n=k+1時，(^*)式成立

由①②知，(^*)式對任意正整數(shù)n都成立.

于是，當(dāng)a＞1時，S_n＞log_ab_n+1?,當(dāng) 0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1?

8.解：∵a₁?a₂=－q,a₁=2,a₂≠0,

∴q≠0,a₂=－,

∵a_n?a_n+1=－qⁿ,a_n+1?a_n+2=－qⁿ⁺¹?

兩式相除，得,即a_n+2=q?a_n

于是，a₁=2,a₃=2?q,a₅=2?qⁿ…猜想：a_2n+1=－qⁿ(n=1,2,3,…)

綜合①②，猜想通項公式為a_n=

下證：(1)當(dāng)n=1,2時猜想成立

(2)設(shè)n=2k－1時，a_2k－1=2?q^k－1則n=2k+1時，由于a_2k+1=q?a_2k－1?

∴a_2k+1=2?q^k即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

設(shè)n=2k時，a_2k=－q^k,則n=2k+2時，由于a_2k+2=q?a_2k?,

所以a_2k+2=－q^k+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.

這樣所求通項公式為a_n=

S_2n=(a₁+a₃…+a_2n－1)+(a₂+a₄+…+a_2n)

=2(1+q+q²+…+q^n-1?)－ (q+q²+…+qⁿ)

由于|q|＜1,∴=

依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

難點31  數(shù)學(xué)歸納法解題

數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點內(nèi)容之一.類比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.

●難點磁場

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1?2²+2?3²+…+n(n+1)²=(an²+bn+c).

●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N^*且a、b、c互不相等時，均有：aⁿ+cⁿ＞2bⁿ.

命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級題目.

知識依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.

錯解分析：應(yīng)分別證明不等式對等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.

技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(a^k－c^k)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而a^k+1+c^k+1＞a^k?c+c^k?a.

證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ(+qⁿ)＞2bⁿ

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()ⁿ(n≥2且n∈N^*)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=2時，由2(a²+c²)＞(a+c)²，∴

②設(shè)n=k時成立，即

則當(dāng)n=k+1時， (a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1)

＞(a^k+1+c^k+1+a^k?c+c^k?a)=(a^k+c^k)(a+c)

＞()^k?()=()^k+1

［例2］在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列.

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表達(dá)式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；

(3)求數(shù)列{a_n}所有項的和.

命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識.

知識依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.

錯解分析：(2)中，S_k=－應(yīng)舍去，這一點往往容易被忽視.

技巧與方法：求通項可證明{}是以{}為首項，為公差的等差數(shù)列，進而求得通項公式.

解：∵a_n,S_n,S_n－成等比數(shù)列，∴S_n²=a_n?(S_n－)(n≥2)                       (^*)

(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－

由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－

同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=

(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時，由(^*)知猜想成立.

②假設(shè)n=k(k≥2)時，a_k=－成立

故S_k²=－?(S_k－)

∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0

∴S_k= (舍)

由S_k+1²=a_k+1?(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=對一切n∈N成立.

(3)由(2)得數(shù)列前n項和S_n=,∴S=S_n=0.

●錦囊妙記

(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若

1°P(n₀)成立(奠基)

2°假設(shè)P(k)成立(k≥n₀)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立.

(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計算問題，數(shù)列的通項與和等.

●殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)?3ⁿ+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為(    )

A.30                                   B.26                            C.36                                   D.6

2.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明3^k≥n³(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗證(    )

A.n=1                          B.n=2                   C.n=3                          D.n=4

二、填空題

3.(★★★★★)觀察下列式子：…則可歸納出_________.

4.(★★★★)已知a₁=,a_n+1=,則a₂,a₃,a₄,a₅的值分別為_________，由此猜想a_n=_________.

三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*.

6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：.

7.(★★★★★)已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n;

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論.

8.(★★★★★)設(shè)實數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2,a₂≠0,a_n?a_n+1=－qⁿ,求a_n表達(dá)式，又如果S_2n＜3,求q的取值范圍.

參考答案

難點磁場

解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時令n=1,2,3,有

于是，對n=1,2,3下面等式成立

1?2²+2?3²+…+n(n+1)²=

記S_n=1?2²+2?3²+…+n(n+1)²

設(shè)n=k時上式成立，即S_k= (3k²+11k+10)

那么S_k+1=S_k+(k+1)(k+2)²=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)²

= (3k²+5k+12k+24)

=［3(k+1)²+11(k+1)+10］

也就是說，等式對n=k+1也成立.

綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

證明：n=1,2時，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時，

f(k)=(2k+7)?3^k+9能被36整除，則n=k+1時，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)?3^k+1?－(2k+7)?3^k

=(6k+27)?3^k－(2k+7)?3^k

=(4k+20)?3^k=36(k+5)?3^k－2?(k≥2)

f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.

答案：C

2.解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗證n=3.

答案：C

二、3.解析：

(n∈N^*)

(n∈N^*)

、、、 

三、5.證明：(1)當(dāng)n=1時，4^2×1+1+3¹⁺²=91能被13整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，4^2k+1+3^k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時，

4^2(k+1)+1+3^k+3=4^2k+1?4²+3^k+2?3－4^2k+1?3+4^2k+1?3

=4^2k+1?13+3?(4^2k+1+3^k+2?)

∵4^2k+1?13能被13整除，4^2k+1+3^k+2能被13整除

∴當(dāng)n=k+1時也成立.

由①②知，當(dāng)n∈N^*時，4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除.

6.證明：(1)當(dāng)n=2時，

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即

7.(1)解：設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d,由題意得,∴b_n=3n－2

(2)證明：由b_n=3n－2知

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+ )］

而log_ab_n+1=log_a,于是，比較S_n與log_ab_n+1?的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)

①當(dāng)n=1時，已驗證(^*)式成立.

②假設(shè)n=k(k≥1)時(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

則當(dāng)n=k+1時，

,即當(dāng)n=k+1時，(^*)式成立

由①②知，(^*)式對任意正整數(shù)n都成立.

于是，當(dāng)a＞1時，S_n＞log_ab_n+1?,當(dāng) 0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n+1?

8.解：∵a₁?a₂=－q,a₁=2,a₂≠0,

∴q≠0,a₂=－,

∵a_n?a_n+1=－qⁿ,a_n+1?a_n+2=－qⁿ⁺¹?

兩式相除，得,即a_n+2=q?a_n

于是，a₁=2,a₃=2?q,a₅=2?qⁿ…猜想：a_2n+1=－qⁿ(n=1,2,3,…)

綜合①②，猜想通項公式為a_n=

下證：(1)當(dāng)n=1,2時猜想成立

(2)設(shè)n=2k－1時，a_2k－1=2?q^k－1則n=2k+1時，由于a_2k+1=q?a_2k－1?

∴a_2k+1=2?q^k即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

設(shè)n=2k時，a_2k=－q^k,則n=2k+2時，由于a_2k+2=q?a_2k?,

所以a_2k+2=－q^k+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.

這樣所求通項公式為a_n=

S_2n=(a₁+a₃…+a_2n－1)+(a₂+a₄+…+a_2n)

=2(1+q+q²+…+q^n-1?)－ (q+q²+…+qⁿ)

由于|q|＜1,∴=

依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜