2009年高考數(shù)學難點突破專題輔導三十四

難點34  導數(shù)的運算法則及基本公式應用

導數(shù)是中學限選內容中較為重要的知識，本節(jié)內容主要是在導數(shù)的定義，常用求等公式.四則運算求導法則和復合函數(shù)求導法則等問題上對考生進行訓練與指導.

●難點磁場

(★★★★★)已知曲線C：y=x³－3x²+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x₀,y₀)(x₀≠0)，求直線l的方程及切點坐標.

●案例探究

［例1］求函數(shù)的導數(shù)：

命題意圖：本題3個小題分別考查了導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)求導的方法，以及抽象函數(shù)求導的思想方法.這是導數(shù)中比較典型的求導類型，屬于★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是要分析函數(shù)的結構和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉化為基本函數(shù)的導數(shù).

錯解分析：本題難點在求導過程中符號判斷不清，復合函數(shù)的結構分解為基本函數(shù)出差錯.

技巧與方法：先分析函數(shù)式結構，找準復合函數(shù)的式子特征，按照求導法則進行求導.

(2)解：y=μ³,μ=ax－bsin²ωx,μ=av－by

v=x,y=sinγ  γ=ωx

y′=(μ³)′=3μ²?μ′=3μ²(av－by)′

=3μ²(av′－by′)=3μ²(av′－by′γ′)

=3(ax－bsin²ωx)²(a－bωsin2ωx)

(3)解法一：設y=f(μ),μ=,v=x²+1,則

y′_x=y′_μμ′_v?v′_x=f′(μ)?v^－?2x

=f′()??2x

=

解法二：y′=［f()］′=f′()?()′

=f′()?(x²+1)?(x²+1)′

=f′()?(x²+1) ?2x

=f′()

［例2］利用導數(shù)求和

(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N^*)

(2)S_n=C+2C+3C+…+nC,(n∈N^*)

命題意圖：培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力.屬

★★★★級題目.

知識依托：通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用逆向思維.由求導公式(xⁿ)′=nx^n－1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù).關鍵要抓住數(shù)列通項的形式結構.

錯解分析：本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想.

技巧與方法：第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導.

解：(1)當x=1時

S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

當x≠1時，

∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

兩邊都是關于x的函數(shù)，求導得

(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′

即S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+Cx²+…+Cxⁿ,

兩邊都是關于x的可導函數(shù)，求導得

n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nCx^n－1,

令x=1得，n?2^n－1=C+2C+3C+…+nC,

即S_n=C+2C+…+nC=n?2^n－1?

●錦囊妙計

1.深刻理解導數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導數(shù).

表示函數(shù)的平均改變量，它是Δx的函數(shù)，而f′(x₀)表示一個數(shù)值，即f′(x)=，知道導數(shù)的等價形式：.?

2.求導其本質是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結構形式轉化為已知極限的形式，即導數(shù)的定義，這是順利求導的關鍵.

3.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.

4.復合函數(shù)求導法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán).必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關系.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

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三、解答題

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難點磁場

解：由l過原點，知k=(x₀≠0),點(x₀,y₀)在曲線C上，y₀=x₀³－3x₀²+2x₀,

∴=x₀²－3x₀+2

y′=3x²－6x+2,k=3x₀²－6x₀+2

又k=,∴3x₀²－6x₀+2=x₀²－3x₀+2

2x₀²－3x₀=0,∴x₀=0或x₀=

由x≠0,知x₀=

∴y₀=()³－3()²+2?=－

∴k==－

∴l方程y=－x 切點(，－)

殲滅難點訓練

一、1.解析：y′=e^sinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e⁰(1－0)=1

答案：B

2.解析：設切點為(x₀,y₀),則切線的斜率為k=,另一方面，y′=()′=,故

y′(x₀)=k,即或x₀²+18x₀+45=0得x₀⁽¹⁾=－3,y₀⁽²⁾=－15,對應有y₀⁽¹⁾=3,y₀⁽²⁾=,因此得兩個切點A(－3，3)或B(－15,),從而得y′(A)= =－1及y′(B)=  ,由于切線過原點，故得切線：l_A:y=－x或l_B:y=－.

答案：A

二、3.解析：根據(jù)導數(shù)的定義：f′(x₀)=(這時)

答案：－1

4.解析：設g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0?g′(0)=g(0)=1?2?…n=n！

答案：n!

三、5.解：設l與C₁相切于點P(x₁,x₁²),與C₂相切于Q(x₂,－(x₂－2)²)

對于C₁：y′=2x,則與C₁相切于點P的切線方程為

y－x₁²=2x₁(x－x₁),即y=2x₁x－x₁²                                                                                                                                              ①

對于C₂：y′=－2(x－2),與C₂相切于點Q的切線方程為y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4                                                                                             ②

∵兩切線重合，∴2x₁=－2(x₂－2)且－x₁²=x₂²－4,解得x₁=0,x₂=2或x₁=2,x₂=0

∴直線l方程為y=0或y=4x－4

6.解：(1)注意到y＞0,兩端取對數(shù)，得

lny=ln(x²－2x+3)+lne^2x=ln(x²－2x+3)+2x

 (2)兩端取對數(shù)，得

ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),

兩邊解x求導，得

7.解：設經時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－,當下端移開1.4 m時，t₀=,又s′=－ (25－9t²)?(－9?2t)=9t,所以s′(t₀)=9×=0.875(m/s)

8.解：(1)當x=1時，S_n=1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1),當x≠1時，1+2x+3x²+…+nx^n-1?=,兩邊同乘以x,得

x+2x²+3x²+…+nxⁿ=兩邊對x求導，得

S_n=1²+2²x²+3²x²+…+n²x^n-1?

=