專題13 三角 平面向量 復數(shù)
一 能力培養(yǎng)
1,數(shù)形結合思想 2,換元法 3,配方法 4,運算能力 5,反思能力
二 問題探討
問題1設向量,,
求證:.
問題2設,其中向量,,
(I)若且,求; (II)若函數(shù)的圖象
按向量平移后得到函數(shù)的圖象,求實數(shù)的值.
問題3(1)當,函數(shù)的最大值是 ,最小值是 .
(2)函數(shù)的最大值是 .
(3)當函數(shù)取得最小值時,的集合是 .
(4)函數(shù)的值域是 .
問題4已知中,分別是角的對邊,且,=
,求角A.
三 習題探討
選擇題
1在復平面內,復數(shù)對應的向量為,復數(shù)對應的向量為,
那么向量對應的復數(shù)是
A,1 B, C, D,
2已知是第二象限角,其終邊上一點P(),且,則=
A, B, C, D,
3函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是
A, B, C, D,
4已知向量,向量,向量,則向量
與向量的夾角的取值范圍是
A, B, C, D,
5已知,,且與的夾角為鈍角,則的取值范圍是
A, B, C, D,
6若是三角形的最小內角,則函數(shù)的值域是
A, B, C, D,
填空題
7已知,則= .
8復數(shù),,則在復平面內的對應點位于第 象限.
9若,則= .
10與向量和的夾角相等,且長度為的向量 .
11在復數(shù)集C內,方程的解為 .
解答題
12若,求函數(shù)的最小值,并求相應的的值.
13設函數(shù),,若當時,
恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
14設,且,復數(shù)滿足,求的最大值與最小值勤.
15已知向量,,且
(I)求及; (II)求函數(shù)的最小值.
16設平面向量,.若存在實數(shù)和角,
使向量,,且.
(I)求函數(shù)的關系式; (II)令,求函數(shù)的極值.
問題1證明:由,且
得= ①
在①中以代換得=.
即.
溫馨提示:向量是一種很好用的工具.運用好它,可簡捷地解決一些三角,平幾,立幾,解幾等問題.
問題2解:(I)可得
由=1,得
又,得,有=,解得.
(II)函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù),
即的圖象.也就是=的圖象.
而,有,.
問題3解:(1)
而,有,
當,即時,;當,即時,.
(2),令,則,有
,得
令,有,
①當時,,為增函數(shù);②當時,,為減函數(shù).
=,而,
于是的最大值是.
(3)
當,即時,.
(4)可得,有
得,有,
得,又,于是有的值域是.
問題4解:由已知得,即,又
得,.
又得由余弦定理.
得,.
由正弦定理得,有.
又,得為最大角.
又,有,于是.
所以得.
習題:1得,,選D.
2 ,又,得或(舍去),
有,,選A.
3它的對稱軸為:,即,有,選A.
4(數(shù)形結合)由,知點A在以
(2,2)為圓心,為半徑的圓周上(如圖),過原點O作
圓C的切線,為切點,由,
知,有,
過點O作另一切線,為切點,則,選D.
5由,,設與的夾角為,則,
有,即,得,有,選A.
6由,令而,得.
又,得,
得,有,選D.
7顯然且,有,
當時,,有,于是,得,則
得到,
當時,同理可得.
8 ,它對應的點位于第一象限.
9由,得,有,即.
則,原式=.
10設,則,.
設與,的夾角分別為,則,
由,得=①;由=,得.②
由①,②得, ,,于是或
11設,,代入原方程整理得
有,解得或,所以或.
12解:
令,得
由,得,有,.
于是當,即,得時,.
13解:由,知是奇函數(shù),
而
得在R上為增函數(shù),則有
,令有
,恒成立.①
將①轉化為:,
(1)當時,;
(2)當時,,由函數(shù)在上遞減,知
當時,,于是得.
綜(1),(2)所述,知.
14解:設,由得,
得
由,得,從而,
設在復平面上的對應點分別為,由條件知W為
復平面單位圓上的點,的幾何意義為單位圓上的點W到點Z的距離,所以
的最小值為;最大值為.
15解(I),
,得
().
(II)
當且僅當時,.
16解:(I)由,,得
=,即,得
.
(II)由,得
求導得,令,得,
當,,為增函數(shù);當時,,為減函數(shù);
當時,,為增函數(shù).
所以當,即時,有極大值;當,即時,有極小
值.
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