專題14 直線 圓錐曲線 平面向量

一 能力培養(yǎng)

1,函數(shù)與方程思想   2,數(shù)形結(jié)合思想   3,分類討論思想   4,轉(zhuǎn)化能力 5,運算能力

二 問題探討

問題1設坐標原點為O,拋物線與過焦點的直線交于A,B兩點,求的值.

 

 

 

 

問題2已知直線L與橢圓交于P,Q不同兩點,記OP,OQ的斜率分別為

,,如果,求PQ連線的中點M的軌跡方程.

 

 

 

 

問題3給定拋物線C:,F是C的焦點,過點F的直線與C相交于A,B兩點.

(I)設的斜率為1,求與夾角的大小;

(II)設,若,求在軸上截距的變化范圍.

 

 

 

 

 

問題4求同時滿足下列三個條件的曲線C的方程:

①是橢圓或雙曲線;         ②原點O和直線分別為焦點及相應準線;

③被直線垂直平分的弦AB的長為.

 

 

 

 

 

 

 

 

三 習題探

選擇題

1已知橢圓的離心率,則實數(shù)的值為

A,3           B,3或           C,           D,或

2一動圓與兩圓和都外切,則動圓圓心的軌跡為

A,圓          B,橢圓          C,雙曲線的一支         D,拋物線

3已知雙曲線的頂點為與(2,5),它的一條漸近線與直線平行,則雙曲

線的準線方程是

A,        B,        C,        D,

4拋物線上的點P到直線有最短的距離,則P的坐標是

A,(0,0)              B,           C,            D,

5已知點F,直線:,點B是上的動點.若過B垂直于軸的直線與線段

BF的垂直平分線交于點M,則點M的軌跡是

A,雙曲線            B,橢圓             C,圓               D,拋物線

填空題

6橢圓上的一點到左焦點的最大距離為8,到右準線的最小距離

為,則此橢圓的方程為                           .

7與方程的圖形關于對稱的圖形的方程是                         .

8設P是拋物線上的動點,點A的坐標為,點M在直線PA上,

且分所成的比為2:1,則點M的軌跡方程是                              .

9設橢圓與雙曲線有共同的焦點,且橢圓長軸是雙曲線實軸的2倍,

 則橢圓與雙曲線的交點軌跡是                       .

解答題

10已知點H,點P在軸上,點Q在軸的正半軸上,點M在直線PQ上,

且滿足,.

(I)當點P在軸上移動時,求點M的軌跡C;

(II)過點T作直線與軌跡C交于A,B兩點,若在軸上存在一點E,

使得是等邊三角形,求的值.

 

 

 

 

 

 

11已知雙曲線C:,點B,F分別是雙曲線C的右頂點和右焦點,

O為坐標原點.點A在軸正半軸上,且滿足成等比數(shù)列,過點F作雙曲

線C在第一,第三象限的漸近線的垂線,垂足為P.

(I)求證:;         (II)設,直線與雙曲線C的左,右兩分

支分別相交于點D,E,求的值.

 

 

 

 

 

 

 

12已知雙曲線的兩個焦點分別為,,其中又是拋物線的焦點,點A,

 B在雙曲線上.

(I)求點的軌跡方程;            (II)是否存在直線與點的軌跡有且只

有兩個公共點?若存在,求實數(shù)的值,若不存在,請說明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

問題1解:(1)當直線AB軸時,在中,令,有,則

,得.

(2)當直線AB與軸不互相垂直時,設AB的方程為:

由,消去,整理得,顯然.

設,則,得

=+=+

        =

        ==.

綜(1),(2)所述,有.

問題2解:設點P,Q,M的坐標分別為,

<center id="asaxz"><i id="asaxz"><output id="asaxz"></output></i></center>
  • 
   
    
    
    
    
    
    x
    , ③  ④
    ①+②得
    即,將③,④代入得,
    于是點M的軌跡方程為.
    問題3解:(I)C的焦點為F(1,0),直線的斜率為1,所以的方程為,
    把它代入,整理得
    設A,B則有.
    +1=.
    ,
    所以與夾角的大小為.
    (II)由題設得,即.
    得,又,有,可解得,由題意知,
    得B或,又F(1,0),得直線的方程為
    或,
    當時,在軸上的截距為或,由,可知
    在[4,9]上是遞減的,于是,,
    所以直線在軸上的截距為[].
    問題4解:設M為曲線C上任一點,曲線C的離心率為,由條件①,②得
    ,化簡得:    
(i)
    設弦AB所在的直線方程為                  
(ii)
    (ii)代入(i)整理后得:  (iii),
    可知不合題意,有,
    設弦AB的端點坐標為A,B,AB的中點P.則,是方程(iii)的兩根.
    ,
    ,,又中點P在直線上,
    有+=0,解得,即AB的方程為,方程(iii)為
    ,它的,得.
    ,
    由,得
    即,得,將它代入(i)得.
    所求的曲線C的方程為雙曲線方程:.
    1焦點在軸得;焦點在軸得,選B.
    2設圓心O(0,0),,為動圓的圓心,則,選C.
    3知雙曲線的中心為(2,2),由變形得,于是所求雙曲線方程為
    ,它的準線為,即,選A.
    4設直線與相切,聯(lián)立整理得,
    由,得,這時得切點(,1),選B.
    5由知點M的軌跡是拋物線,選D.
    6可得,消去,整理得,有或(舍去),得,
    ,所以所求的橢圓方程為.
    7設點P是所求曲線上任一點,它關于對稱的點在上,
    有,即.
    8設點P,M,有,,得,
    而,于是得點M的軌跡方程是.
    9由條件可得或,設P代入可知交點的軌跡是兩個圓.
    10解:(I) 設點M,由,得P
    由,得所以.又點Q在軸的正半軸上,得.
    所以,動點M的軌跡C是以(0,0)為頂點,以(1,0)為焦點的拋物線,除去原點.
    (II)設直線:,其中,代入,整理得 ①
    設A,B,,
    =,有AB的中點為,
    AB的垂直平分線方程為,令,,有E
    由為正三角形,E到直線AB的距離為,知.
    由,解得,所以.
    11(I)證明:直線的方程為:
    由,得P,又成等差數(shù)列,
    得A(,0),有,
    于是,,因此.
    (II)由,得,:
    由,消去,整理得    
①
    設D,E,由已知有,且,是方程①的兩個根.
    ,,,解得或.
    又,得=,因此.
    12解:(I),,設則
    ,去掉絕對值號有兩種情況,分別得的軌跡
    方程為和()
    (II)直線:,:,D(1,4),橢圓Q:
    ①若過點或D,由,D兩點既在直線上,又在橢圓Q上,但不在的軌跡上,
    知與的軌跡只有一個公共點,不合題意.
    ②若不過,D兩點().則與必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,
    所以要使與的軌跡有且只有兩個公共點,必須使與Q有且只有一個公共點,
    把代入橢圓的方程并整理得
    由,得.
     
     
    
				
	
    
		
    


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