第五講 等差等比

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．在等差數(shù)列中，，則（  A ）

A.       B.          C.        D. -1或1

2.（安徽）直角三角形三邊成等比數(shù)列，公比為，則的值為（ D  ）

A.       B.      C.    D.

3.已知數(shù)列{}的前項和，第項滿足，則（　B�。�

  A．         B．          C.          D．

4.已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（　D　）

A．2      B．3      C．4      D．5

5.設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，．若是與的等比中項，則（　B�。�

Ａ．2      Ｂ．4      Ｃ．6      Ｄ．8

6. 等比數(shù)列的前項和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為　　　　　　．

★★★高考要考什么

等差數(shù)列的證明方法：1. 定義法：2．等差中項：對于數(shù)列，若

等差數(shù)列的通項公式：------該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)

等差數(shù)列的前n項和 1．     2.     3.

等差中項: 如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。即：或

等差數(shù)列的性質(zhì):1．等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公差為，則有

2.     對于等差數(shù)列，若，則。也就是：，

3．若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，，那么，，成等差數(shù)列。如下圖所示：

4．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和，則有如下性質(zhì)：

1當(dāng)n為偶數(shù)時，， 2當(dāng)n為奇數(shù)時，則，，

等比數(shù)列的判定方法:①定義法：若②等比中項：若，則數(shù)列是等比數(shù)列。

等比數(shù)列的通項公式:如果等比數(shù)列的首項是，公比是，則等比數(shù)列的通項為。

等比數(shù)列的前n項和:1   2   3當(dāng)時，

等比中項:如果使，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項。那么。

等比數(shù)列的性質(zhì):

1．等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公比為，則有

2.     對于等比數(shù)列，若，則也就是：。

3．若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，，那么，，成等比數(shù)列。如下圖所示：

★     ★★ 突 破 重 難 點

【范例1】是等差數(shù)列的前n項和，已知的等比中項為，的等差中項為1，求數(shù)列的通項．

解析 由已知得，   即 ，

解得或   或

經(jīng)驗證  或 均滿足題意，即為所求．

【點睛】若是等差數(shù)列的前n項和，則數(shù)列也是等差數(shù)列．本題是以此背景設(shè)計此題．

【變式】已知等差數(shù)列｛a_n｝的公差和等比數(shù)列｛b_n｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a₁=b₁，a₃=3b₃，a₅=5b₅，求a_n，b_n．

解：由已知①②

由①，得a₁（3d²－1）＝2d          ③

由②，得a₁（5d⁴－1）＝4d          ④

因為d≠0，由③與④得2（3d²－1）＝5d⁴－1， 即5d⁴－6d²＋1＝0，解得d＝±1，d＝±．

∵d＞0，d≠1，∴d＝．代入③，得a₁＝－，故b₁=－.

a_n＝－＋（n－1）＝（n－6），b_n＝－×（）^n－1．

本小題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)，方程（組）的解法以及運(yùn)算能力和分析能力.

【范例2】下表給出一個“三角形數(shù)陣”：

                      ，

                      ，，

                      …  …   …  …

已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列；從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，每一行的公比都相等．記第i行第j列的數(shù)為a_ij ( i≥j， i， j∈N^*)．

(1) 求a₈₃；

(2) 試寫出a _ij關(guān)于i， j的表達(dá)式；

(3) 記第n行的和為A_n，求

解析 （1）由題知成等差數(shù)列，且，所以公差。

又成等比數(shù)列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．　

（2）由（1）知，，∴．　

（3）．

【點睛】在新穎背景――數(shù)表中運(yùn)用數(shù)列知識．

【文】在等比數(shù)列{a _n}中，前n項和為S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列，則a_m， a_m+2， a_m+1成等差數(shù)列

   （1）寫出這個命題的逆命題；（2）判斷逆命題是否為真，并給出證明

解析（１）逆命題：在等比數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，若a_m， a_m+2， a_m+1成等差數(shù)列，則 S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列

   （２）設(shè){a_n}的首項為a₁，公比為q.    由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1

    ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m    ∵a₁≠0  q≠0 ，∴2q²－q－1=0 ，  ∴q=1或q=－

當(dāng)q=1時，∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2，      ∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數(shù)列

當(dāng)q=－時， ，

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ，     ∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列

綜上得：當(dāng)公比q=1時，逆命題為假；當(dāng)公比q≠1時，逆命題為真

【點睛】逆命題中證明需分類討論是本題的亮點和靈活之處．

【變式】等差數(shù)列的前項和為．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項與前項和；

（Ⅱ）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．

解：（Ⅰ）由已知得，， 故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

    假設(shè)數(shù)列中存在三項（互不相等）成等比數(shù)列，則．

    即．   ，

       ．    與矛盾．

    所以數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列．

【范例3】若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”。

（1）已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項

（2）已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？

（3）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，試求其中一個數(shù)列的前2008項和

解：（1）設(shè)的公差為，則，解得 ，數(shù)列為．

（2） ，  

    ，當(dāng)時，取得最大值為626．

  （3）所有可能的“對稱數(shù)列”是：

      ① ；  ② ；

      ③ ； ④ ．

對于①，當(dāng)時，．   

 當(dāng)時，

 ．     

 對于②，當(dāng)時，．當(dāng)時，．

 對于③，當(dāng)時，；當(dāng)時，．

 對于④，當(dāng)時，；當(dāng)時，．

 【點睛】在看懂題目意思基礎(chǔ)上，注意各種情況的討論，考察觀察，分析，運(yùn)用能力

【文】如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，，…，，即（），我們稱其為“對稱數(shù)列”．

例如，數(shù)列與數(shù)列都是“對稱數(shù)列”．

（1）設(shè)是7項的“對稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，．依次寫出的每一項；

（2）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中是首項為，公比為的等比數(shù)列，求各項的和；

（3）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中是首項為，公差為的等差數(shù)列．求前項的和．

解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得 ，

    數(shù)列為．   

（2）

           67108861． 

（3）．由題意得 是首項為，公差為的等差數(shù)列．

  當(dāng)時， ．

  當(dāng)時， 

                      ．

綜上所述，