第十、十一講   三角函數(shù)的圖象與性質

★★★高考在考什么

【考題回放】

1.已知函數(shù)（、為常數(shù)，，）在處取得最小值，則函數(shù)是（　D�。�

（A）偶函數(shù)且它的圖象關于點對稱

（B）偶函數(shù)且它的圖象關于點對稱

（C）奇函數(shù)且它的圖象關于點對稱

（D）奇函數(shù)且它的圖象關于點對稱

2．定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當時，，則的值為    （ D ）

（A）       （B）        （C）      （D）

3．函數(shù)y = －x?cosx的部分圖象是(  D  )

4．① 存在使

② 存在區(qū)間（a，b）使為減函數(shù)而＜0

③ 在其定義域內為增函數(shù)

④ 既有最大、最小值，又是偶函數(shù)

⑤ 最小正周期為π

以上命題錯誤的為____________.①②③⑤

5．把函數(shù)y=cos(x+)的圖象向右平移φ個單位，所得的圖象正好關于y對稱，則φ的最小正值為       

6．設函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期為π，并且當x=時，有最大值f（）=4.

（1）求a、b、ω的值；

（2）若角a、β的終邊不共線，f（a）=f（β）=0，求tan（a+β）的值.

【專家解答】（1）由=π，ω＞0得ω=2.  ∴f（x）=asin2x+bcos2x.

由x=時，f（x）的最大值為4，得

（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依題意4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.

∴sin（2α+）－sin（2β+）=0.   ∴cos（α+β+）sin（α－β）=0

∵α、β的終邊不共線，即α－β≠kπ（k∈Z）， 故sin（α－β）≠0.

∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.

★★★高考要考什么

【考點透視】

本專題主要涉及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質. 掌握兩種作圖方法：“五點法”和變換作圖（平移、對稱、伸縮）；三角函數(shù)的性質包括定義域、值域（最值），單調性、奇偶性和周期性.

【熱點透析】

三角函數(shù)的圖象和性質是高考的熱點，在復習時要充分運用數(shù)形結合的思想，把圖象和性質結合起來  本節(jié)主要幫助考生掌握圖象和性質并會靈活運用 常見題型：

1  考查三角函數(shù)的圖象和性質的基礎題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎上要對三角函數(shù)的性質靈活運用 

2  三角函數(shù)與其他知識相結合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力  在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強 

3  三角函數(shù)與實際問題的綜合應用 

此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數(shù)學建模能力，要注意數(shù)形結合思想在解題中的應用

★★★突破重難點

【范例1】右圖為y=Asin(wx+j)的圖象的一段，求其解析式。

解析  法1以M為第一個零點，則A=，

所求解析式為

點M（在圖象上，由此求得

所求解析式為

法2. 由題意A=，，則

圖像過點        

即 取

所求解析式為

【點晴】1. 由圖象求解析式時,”第一零點”的確定很重要,盡量使A取正值.

 2. 由圖象求解析式或由代數(shù)條件確定解析式時,應注意:

(1) 振幅 A=

(2) 相鄰兩個最值對應的橫坐標之差,或一個單調區(qū)間的長度為, 由此推出的值.

(3) 確定值,一般用給定特殊點坐標代入解析式來確定.

【范例2】已知函數(shù)，

（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；

（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期。

解析 （1）由題意得sinx-cosx＞0即，

從而得，

∴函數(shù)的定義域為，

∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函數(shù)f(x)的值域是。

（2）單調遞增區(qū)間是

單調遞減區(qū)間是，

（3）因為f(x)定義域在數(shù)軸上對應的點不關于原點對稱，故f(x)是非奇非偶函數(shù)。

（4）∵

     ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π。

【點睛】此題主要是考察對數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)復合而成的復合函數(shù)的性質

【范例3】設函數(shù)，其中向量，，，且的圖象經過點．

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的最小值及此時值的集合．

解：（Ⅰ），

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

當時，的最小值為，

由，得值的集合為．

【范例4】設函數(shù)，，

其中，將的最小值記為．

（I）求的表達式；

（II）討論在區(qū)間內的單調性并求極值．

本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項式函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的單調性，考查應用導數(shù)分析解決多項式函數(shù)的單調區(qū)間，極值與最值等問題的綜合能力．本小題滿分14分．

解：（I）我們有

         ．

由于，，故當時，達到其最小值，即

．

 （II）我們有．

列表如下：

極大值

極小值

由此可見，在區(qū)間和單調增加，在區(qū)間單調減小，極小值為，極大值為．

【范例5】已知二次函數(shù)f(x)對任意xÎR，都有f(1-x)= f(1+x)成立，設向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），當xÎ [0，]時，求不等式f（）＞f（）的解集．

解析:設f（x）的二次項系數(shù)為m，其圖象上兩點為（1-x，）、B（1＋x，）因為，，所以，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，若m＞0，則x≥1時，f（x）是增函數(shù)，若m＜0，則x≥1時，f（x）是減函數(shù)．

∵　，，，，，

，

∴　當時，

，．

∵　，　∴　．

當時，同理可得或．

綜上的解集是當時，為；

當時，為，或．

【點晴】此題是三角函數(shù)與平面向量的綜合問題。利用函數(shù)的單調性解不等式是該題的重點和難點.

【變式】試判斷方程sinx=實數(shù)解的個數(shù).

解析 方程sinx=實數(shù)解的個數(shù)等于函數(shù)y=sinx與y=的圖象交點個數(shù)

∵|sinx|≤1∴||≤1,  |x|≤100л

當x≥0時，如右圖，此時兩線共有

100個交點，因y=sinx與y=都是奇函數(shù)，由對稱性知當x≥0時，也有100個交點，原點是重復計數(shù)的所以只有199個交點。

【點睛】 此題主要考察數(shù)形結合解題的能力。該題在統(tǒng)計根的個數(shù)時，要注意原點的特殊性.