電磁感應(yīng)中的能量
重點難點
1.分清能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系:導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電流在磁場中受到安培力作用,如果該安培力做負(fù)功,是把其他形式的能量轉(zhuǎn)化為電能;如果安培力做正功,是把電能轉(zhuǎn)化為其他形式能量.
2.有效值問題:當(dāng)線框在磁場中轉(zhuǎn)動切割勻強磁場磁感線或?qū)w棒以簡諧運動切割磁感線時,產(chǎn)生的電能、熱能等都應(yīng)以有效值進行運算.
3.電量的計算:當(dāng)導(dǎo)體棒只受安培力作用時,安培力對棒的沖量為:F安?t = BIlt,其It即為該過程中電磁感應(yīng)時通過導(dǎo)體的電量q,即安培力沖量為Bql.當(dāng)兩個過程中磁通量φ變化量Δφ相同時,由q = 可知此時通過的電量也相同,安培力沖量也相同.
規(guī)律方法
【例1】如圖所示,兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面,導(dǎo)軌上橫放著兩根相同的導(dǎo)體棒ab、cd與導(dǎo)軌構(gòu)成矩形回路,導(dǎo)體棒的兩端連接著處于壓縮狀態(tài)的兩根輕質(zhì)彈簧,兩棒的中間用細(xì)線綁住,它們的電阻均為R,回路上其余部分的電阻不計,在導(dǎo)軌平面內(nèi)兩導(dǎo)軌間有一豎直向下的勻強磁場,開始時,導(dǎo)體棒處于靜止?fàn)顟B(tài),
剪斷細(xì)線后,導(dǎo)體棒在運動過程中 ( AD )
A.回路中有感應(yīng)電動勢?
B.兩根導(dǎo)體棒所受安培力的方向相同?
C.兩根導(dǎo)體棒和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒,機械能守恒?
D.兩根導(dǎo)體棒的彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒,機械能不守恒?
訓(xùn)練題兩根光滑的金屬導(dǎo)軌,平行放置在傾角為θ的斜面上,導(dǎo)軌的左端接有電阻R,導(dǎo)軌的電阻可忽略不計,斜面處在一勻強磁場中,磁場方向垂直斜面向上,質(zhì)量為m,電阻可不計的金屬棒ab,在沿著斜面與棒垂直的恒力F作用下沿導(dǎo)軌勻速上滑,并上升高度h,如圖所示,在這個過程中( A )
A.作用在金屬棒上的各個力的合力所做功等于零?
B.作用在金屬棒上的各個力的合力所做的功等于mgh與電阻R上發(fā)出的焦耳熱之和?
C.恒力F與安培力的合力所做的功等于零?
D.恒力F與重力的合力所做的功大于電阻R上發(fā)出的焦耳熱?
【例2】如圖所示,固定的水平金屬導(dǎo)軌,間距為L,左端接有阻值為R的電阻,處在方向豎直、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中,質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與固定彈簧相連,放在導(dǎo)軌上,導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻均可忽略?初始時刻,彈簧恰處于自然長度?導(dǎo)體棒具有水平向右的初速度υ0在沿導(dǎo)軌往復(fù)運動的過程中,導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸.(1)求初始時刻導(dǎo)體棒受到的安培力;(2)若導(dǎo)體棒從初始時刻到速度第一次為零時,彈簧的彈性勢能為Ep,則這一過程中安培力所做的功W1和電阻上產(chǎn)生的焦耳熱Q1分別為多少?(3)導(dǎo)體棒往復(fù)運動,最終將靜止于何處?從導(dǎo)體棒開始運動直到最終靜止的過程中,電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為多少??
【解析】導(dǎo)體棒以初速度υ0做切割磁感線運動而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,回路中的感應(yīng)電流使導(dǎo)體棒受到安培力的作用?安培力做功使系統(tǒng)機械能減少,最終將全部機械能轉(zhuǎn)化為電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱.由平衡條件知,棒最終靜止時,彈簧的彈力為零,即此時彈簧處于初始的原長狀態(tài).
(1)初始時刻棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢?
E = BLυo ①?
棒中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I = ②?
作用于棒上的安培力F = BIL ③?
聯(lián)立①②③,得F = ,安培力方向:水平向左??
(2)由功和能的關(guān)系,得:安培力做功W1 = Ep-mυ?
電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q1 = mυ-EP?
(3)由能量轉(zhuǎn)化及平衡條件等,可判斷:棒最終靜止于初始位置?
Q = mυ?
訓(xùn)練題如圖所示,間距為l的光滑平行金屬導(dǎo)軌,水平地放置在豎直方向的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中,一端接阻值為R的電阻,一電阻為R0質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上,在外力F作用下從t = 0的時刻開始運動,其速度隨時間的變化規(guī)律υ = υmsinωt,不計導(dǎo)軌電阻,求:
(1)從t1 = 0到t2 = 2π/ω時間內(nèi)電阻R產(chǎn)生的熱量.
(2)從t1 = 0到t3 = 時間內(nèi)外力F所做的功.
答案:(1)Q=πB
(2)W=mvm2/2 + πB
【例3】如圖所示a1b
【解析】設(shè)桿向上運動的速度為υ,因桿的運動,兩桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的面積減少,從而磁通量也減少?由法拉第電磁感應(yīng)定律,回路中的感應(yīng)電動勢的大小E = B(l2-l1)υ,回路中的電流I = ,電流沿順時針方向?兩金屬都要受到安培力的作用,作用于桿x1y1的安培力為f1 = Bl1I,方向向上,作用于桿x2y2的安培力f2 = Bl2I,方向向下?當(dāng)桿做勻速動動時,根據(jù)牛頓第二定律有F-m
I = υ = R ?
作用于兩桿的重力的功率的大小P =(m1+m2)gu 電阻上的熱功率Q = I2R ?
得 P = R(m1+m2)g? Q = []2R?
訓(xùn)練題如圖,兩根金屬導(dǎo)軌與水平面成30°平行放置,導(dǎo)軌間距0.
(1)金屬棒MN的最大速度;
(2)金屬棒MN運動達到穩(wěn)定狀態(tài)后,1s內(nèi)外力F做的功,并計算說明能量的轉(zhuǎn)化是否守恒.
答案:(1)vm=
(2)W=2.4J
能力訓(xùn)練
1.如圖水平光滑的平行金屬導(dǎo)軌,左端與電阻R相連接,勻強磁場B豎直向下分布在導(dǎo)軌所在的空間內(nèi),質(zhì)量一定的金屬棒垂直擱在導(dǎo)軌上,令棒以一定的初速度向右運動,當(dāng)其通過位置a時速率為υa,通過位置b時速率為υb,到位置C時棒剛好靜止,設(shè)導(dǎo)軌與棒的電阻均不計,a、b與b、c的間距相等,則關(guān)于金屬棒由a到b和由b到c的兩個過程中,以下說法正確的是 ( D )
A.通過棒截面的電量不相等?
B.棒運動的加速度相等?
C.棒通過a、b兩位置時的速率關(guān)系為υa>2υb?
D.回路中產(chǎn)生的電能Eab與Ebc的關(guān)系為:Eab = 3Ebc?
2.如圖所示,ab、cd為兩根水平放置且相互平行的金屬軌道,相距L,左右兩端各連接一個阻值均為R的定值電阻,軌道中央有一根質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒MN垂直放在兩軌道上,與兩軌道接觸良好,棒及軌道的電阻不計,整個裝置處于垂直紙面向里的勻強磁場中,磁感應(yīng)強度大小為B.棒MN在外驅(qū)動力作用下做簡諧運動,其振動周期為T,振幅為A,通過中心位置時的速度為υ0,則驅(qū)動力對棒做功的平均功率為 ( B )?
A. B. ?
C. D. ?
3.一電阻為R的金屬圓環(huán),放在勻強磁場中,磁場與圓環(huán)所在平面垂直,如圖(a)所示.已知通過圓環(huán)的磁通量隨時間t的變化關(guān)系如圖(b)所示,圖中的最大磁通量φ0和變化周期T 都是已知量,求
(1)在t= 0到t=T/4的時間內(nèi),通過金屬圓環(huán)某橫截面的電荷量q.
(2)在t= 0到t=2T的時間內(nèi),金屬環(huán)所產(chǎn)生的電熱Q.
答案:(1)在t=0到時間內(nèi),環(huán)中的感應(yīng)電動勢 E1=
在以上時段內(nèi),環(huán)中的電流為 I 1=
則在這段時間內(nèi)通過金屬環(huán)某橫截面的電量 q= I 1 t
聯(lián)立求解得
(2)在到和在到t =T時間內(nèi),環(huán)中的感應(yīng)電動勢 E 1= 0
在和在時間內(nèi),環(huán)中的感應(yīng)電動勢 E 3=
由歐姆定律可知在以上時段內(nèi),環(huán)中的電流為 I 3 =
在t=0到t=2T時間內(nèi)金屬環(huán)所產(chǎn)生的電熱 Q=2(I 12 R t 3+ I 32 R t 3)
聯(lián)立求解得 Q=
4.平行軌道PQ、MN兩端各接一個阻值R1=R2=8的電阻,軌道間距L=
⑴當(dāng)導(dǎo)體棒ab從左端進入磁場區(qū)域時開始計時,設(shè)電流方向從a流向b為正方向,請畫出流過導(dǎo)體棒ab的電流隨時間變化關(guān)系的i―t圖象。
⑵整個過程中流過導(dǎo)體棒ab的電流為交變電流,求出流過導(dǎo)體棒ab的電流有效值。
答案:⑴ab在兩磁場中切割磁場產(chǎn)生的電動勢E=BLV=10(V)
則ab中的感應(yīng)電流大小均為(A)
流過導(dǎo)體棒ab的電流隨時間變化規(guī)律如圖所示
⑵由電流圖象得流過ab棒的電流周期為T=6×10-3s
由
5.如圖所示,光滑平行的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距l,其框架平面與水平面成θ角,在M點和P點間接一個阻值為R的電阻,在兩導(dǎo)軌間OO1O1′O′矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向下、寬為d的勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B。一質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab,垂直擱置于導(dǎo)軌上,與磁場上邊界相距d0,現(xiàn)使它由靜止開始運動,在棒ab離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運動(棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好的接觸,導(dǎo)軌電阻不計)。求:
⑴棒ab在離開磁場下邊界時的速度;
⑵棒ab通過磁場區(qū)的過程中整個電路所消耗的電能。
答案:⑴導(dǎo)體棒ab切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E=BLv
產(chǎn)生的電流為
導(dǎo)體棒受到的安培力為 F=BIl
導(dǎo)體棒出磁場時作勻速運動,受力平衡,即mgsinθ=F
聯(lián)立解得
⑵由能量轉(zhuǎn)化守恒得E電=EG-EK
即E電==
6.如圖光滑斜面的傾角α=30°,在斜面上放置一矩形線框abcd,ab邊的邊長l1=
⑴線框進入磁場時勻速運動的速度v;
⑵ab邊由靜止開始運動到gh線所用的時間t;
⑶t時間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱.
答案:⑴因為線框進入磁場的最初一段時間做勻速運動,所以重物受力平衡
線框abcd受力平衡
ab邊進入磁場切割磁感線,產(chǎn)生的電動勢
形成的感應(yīng)電流 受到的安培力
聯(lián)立得: 解得
⑵線框abcd進磁場前時,做勻加速直線運動;進磁場的過程中,做勻速直線運動;進入磁場后到運動到gh線,仍做勻加速直線運動。
進磁場前 對M 對m
聯(lián)立解得: 該階段運動時間為
進磁場過程中 勻速運動時間
進磁場后 線框受力情況同進磁場前,所以該階段的加速度仍為
解得:
因此ab邊由靜止開始運動到gh線所用的時間
⑶ J
7.如圖所示,水平固定的光滑U形金屬框架寬為L,足夠長,其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab,左端連接有一阻值為R的電阻(金屬框架、金屬棒及導(dǎo)線的電阻勻可忽略不計),整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中,磁感應(yīng)強度大小為B.現(xiàn)給棒ab一個初速度υ0,使棒始終垂直框架并沿框架運動,如圖甲所示.?
(1)金屬棒從開始運動到達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中,求通過電阻R的電量和電阻R中產(chǎn)生的熱量;?
(2)金屬棒從開始運動到達到穩(wěn)定狀態(tài)的過程中求金屬棒通過的位移;?
(3)如果將U形金屬框架左端的電阻R換為一電容為C的電容器,其他條件不變,如圖乙所示.求金屬棒從開始運動到達到穩(wěn)定狀態(tài)時電容器的帶電量
和電容器所儲存的能量(不計電路向外界輻射的能量).?
答案:(1)由動量定理得 即 所以
由能量守恒定律得
(2) 所以
(3)當(dāng)金屬棒ab做切割磁力線運動時,要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,這樣,電容器C將被充電,ab棒中有充電電流存在,ab棒受到安培力的作用而減速,當(dāng)ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運動時,有:
BLv=UC=
而對導(dǎo)體棒ab利用動量定理可得: -BL=mv-mv0
由上述二式可求得:
8.如圖所示,兩條光滑的絕緣導(dǎo)軌,導(dǎo)軌的水平部分與圓弧部分平滑連接,兩導(dǎo)軌間距為L,導(dǎo)軌的水平部分有n段相同的勻強磁場區(qū)域(圖中的虛線范圍),磁場方向豎直向上,磁場的磁感應(yīng)強度為B,磁場的寬度為S,相鄰磁場區(qū)域的間距也為S,S大于L,磁場左、右兩邊界均與導(dǎo)軌垂直,F(xiàn)有一質(zhì)量為m,電阻為r,邊長為L的正方形金屬框,由圓弧導(dǎo)軌上某高度處靜止釋放,金屬框滑上水平導(dǎo)軌,在水平導(dǎo)軌上滑行一段時間進入磁場區(qū)域,最終線框恰好完全通過n段磁場區(qū)域。地球表面處的重力加速度為g,感應(yīng)電流的磁場可以忽略不計,求:
(1)剛開始下滑時,金屬框重心離水平導(dǎo)軌所在平面的高度.
(2)整個過程中金屬框內(nèi)產(chǎn)生的電熱.
(3)金屬框完全進入第k(k<n)段磁場區(qū)域前的時刻,金屬框中的電功率.
答案:(1)設(shè)金屬框在進入第一段勻強磁場區(qū)域前的速度為v0,金屬框在進入和穿出第一段勻強磁場區(qū)域的過程中,線框中產(chǎn)生平均感應(yīng)電動勢為
平均電流強度為(不考慮電流方向變化)
由動量定理得:
同理可得:
……
整個過程累計得:
解得:
金屬框沿斜面下滑機械能守恒:
(2)金屬框中產(chǎn)生的熱量Q=mgh Q=
(3)金屬框穿過第(k-1)個磁場區(qū)域后,由動量定理得:
金屬框完全進入第k個磁場區(qū)域的過程中,由動量定理得:
解得: . 功率:
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