（20）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）

答：144

（21）（本小題滿分7分）

在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的四頂點(diǎn)按照逆時(shí)針?lè)较蛞来螢閆₁，Z₂，Z₃，O（其中O是原點(diǎn)），已知Z₂對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)。求Z₁和Z₃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。

解：設(shè)Z₁，Z₃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為

依題設(shè)得

（22）（本小題滿分10分）

求的值。

解：原式=

（23）（本小題滿分12分）

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。

（Ⅰ）求證：AF⊥DB;

（Ⅱ）如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求直線DE與平面ABCD所成的角。

D              C      

    F                

A        H     B       

       E             

（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，

DA⊥平面ABE

∵BE平面ABE，

∴DA⊥EB.

∵AB是圓柱底面的直徑，

點(diǎn)E在圓周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得

EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得

AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB

∴AF⊥DB.

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，H是垂足，連結(jié)DH.

根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交線，且EH平面ABE，

∴EH⊥平面ABCD.

又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，

從而∠EDH是DE與平面ABCD所成的角.

設(shè)圓柱的底面半徑而R，則DA=AB=2R，于是V_圓柱=2πR³，

V_D-ABE=AD?S_△ABE=?EH.

V_圓柱:V_D-ABE=3π,得EH=R.

可知H是圓柱底面的圓心，AH=R，

DH=

∴∠EDH=

（24）（本小題滿分12分）

某地為促進(jìn)淡水魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)淡水魚(yú)養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼。設(shè)淡水魚(yú)的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚(yú)的市場(chǎng)日供應(yīng)量P千克與市場(chǎng)日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：

當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格。

（Ⅰ）將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;

（Ⅱ）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？

解：（Ⅰ）依題設(shè)有

化簡(jiǎn)得

當(dāng)判別式時(shí)，可得

解不等式組①，得不等式組②無(wú)解。

故所求的函數(shù)關(guān)系式為

函數(shù)的定義域?yàn)閇0，]

（Ⅱ）為使，應(yīng)有

化簡(jiǎn)得

解得

從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元。

（25）（本小題滿分12分）

設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。

（Ⅰ）證明

（Ⅱ）是否存在常數(shù)c>0使得

成立？并證明你的結(jié)論。

（Ⅰ）證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知

（1）當(dāng)時(shí)，從而

（2）當(dāng)時(shí)，從而

由（1）和（2）得

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知

即

（Ⅱ）解：要使

成立，則有

分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，

可知，不滿足條件①，即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。

（2）當(dāng)時(shí)，若條件①成立，因

且故只能有即

此時(shí)，

但時(shí)，不滿足條件②，

即不存在常數(shù)c>0，使結(jié)論成立。

證法二：用反證法.假設(shè)存在常數(shù)c>0，使

，

則有

由（4）得

根據(jù)平均值不等式及（1）、（2）、（3）、（4）知

因?yàn)閏>0，故（5）式右端非負(fù)，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。

故不存在常數(shù)c>0，使

（26）（本小題滿分12分）

已知橢圓，直線.P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|².當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

解：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn).設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為

        y                     

               P              

         Q R                  

       O                x     

（x_P,y_P),（x_R,y_R),（x,y),

其中x,y不同時(shí)為零.

當(dāng)點(diǎn)P不在y軸上時(shí)，

由于點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，

Q，R共線，得方程組

解得

由于點(diǎn)P在直線上及點(diǎn)O，Q，P共線，

解方程組

解得

當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)（1）~（4）式也成立

由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|²，得

將（1）~（4）式代入上式，化簡(jiǎn)整理得

因x與x_P同號(hào)或y與y_P同號(hào)，以及（3），（4）知，

故點(diǎn)Q的軌跡方程為

所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。

解法二：由題設(shè)點(diǎn)Q不在原點(diǎn).又設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為

（x_P,y_P),（x_R,y_R),（x,y),其中x,y不同時(shí)為零.

設(shè)OP與x軸正方向的夾角為，則有

由上式及題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|²，得

由點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)R在橢圓上，得方程組

將（1），（2），（3），（4）代入（5），（6），

整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為

所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。

解法三：投影法

設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為（x_P,y_P),（x_R,y_R),（x,y),其中x,y不同時(shí)為零.

由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|²

設(shè)OP的方程為

這就是Q點(diǎn)的參數(shù)方程，消去參數(shù)k得

當(dāng)P在y軸上時(shí)，k不存在，此時(shí)Q（0，2）滿足方程，

故Q點(diǎn)軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。

解法四：極坐標(biāo)法

在極坐標(biāo)系OX中，設(shè)∠POX=

由得

由得

由|OQ|?|OP|=|OR|²得即

將（1），（2）代入（3）

故Q點(diǎn)軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。

一九九五年（文科）

（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，則                       （ B ）

(A) y          (B)     y        (C)  y        (D)   y          

      o 1     x     -1 o      x      o  1     x    -1  o    x 

（A）{0}  （B）{-3，-4}  （C）{-1，-2}  （D）

（2）函數(shù)的圖象是                       （ D ）

（3）函數(shù)的最小正周期是  （ C ）

（A）      （B）      （C）     （D）

（4）正方體的全面積是，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是                                          （ B ）

（A）     （B）     （C）    （D）

（5）若圖中的直線的斜率分別為，則    （ D ）

         y                   

         O                  

                        x   

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）雙曲線的漸近線方程是               （ C ）

（A）  （B）   （C）  （D）

（7）使成立的的取值范圍是            （ A ）

（A） （B）    （C）  （D）

（8）圓的位置關(guān)系是    （ C ）

（A）相離    （B）外切     （C）相交      （D）內(nèi)切

（9）已知是第三象限角，且，那么等于

（A）   （B）     （C）      （D）（ A ）

（10）如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，

  D₁      F₁      C₁   

A₁     E₁        B₁   

   D              C   

A              B     

B₁E₁=D₁F₁=，則BE₁與DF₁所成角

的余弦值是                （ A ）

（A）          （B）

（C）          （D）

（11）已知是x的減函數(shù)，則的取值范圍是（ B ）

（A）（0，2） （B）（0，1）  （C）（1，2）  （D）（2，+）

（12）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是          （ D ）

（A）-297     （B）-252     （C）297     （D）207

（13）已知直線，直線.有下面四個(gè)命題：（ D ）

①       ②

③       ④

其中正確的兩個(gè)命題是

（A）①與②  （B）③與④   （C）②與④   （D）①與③

（14）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為與，若

等于                                      （ C ）

（A）1      （B）      （C）       （D）

（15）用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有                                 （ A ）

（A）24個(gè)    （B）30個(gè)    （C）40個(gè)    （D）60個(gè)

（16）方程的解是__________

答：3

（17）已知圓臺(tái)上、下底面圓周都在球面上，且下底面過(guò)球心，母線與底面所成的角為，則圓臺(tái)的體積與球體積之比_______

答：

(18)函數(shù)的最大值是_______

答：

（19）直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，并且與x軸垂直，則被拋物線截得的線段長(zhǎng)為_(kāi)______

答：4

（20）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法共有________種（用數(shù)字作答）

答：144

（21）（本小題滿分7分）

解方程

解：設(shè)，則原方程可化為

所以原方程的解為x=2.

（22）（本小題滿分12分）

設(shè)復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模和輻角。

解：

所以復(fù)數(shù)的模為;

輻角為

（23）（本小題滿分10分）

設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。

證明

證明：設(shè)的公比為，由題設(shè)知

（1）當(dāng)時(shí)，從而

（2）當(dāng)時(shí)，從而

由（1）和（2）得

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，知

即

證法二：設(shè)的公比為，由題設(shè)知

即（以下同證法一）

（24）（本小題滿分12分）

如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足。

（Ⅰ）求證：AF⊥DB;

（Ⅱ）如果AB=，圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于，求點(diǎn)E到截面ABCD的距離。

D              C      

    F                

A              B       

       E             

（Ⅰ）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，

DA⊥平面ABE

∵BE平面ABE，

∴DA⊥EB.

∵AB是圓柱底面的直徑，

點(diǎn)E在圓周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得

EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得

AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB

∴AF⊥DB.

（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為d

記AD=h，因圓柱軸截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。

S_△ABD=AB?AD=

V_D-ABE=V_E-ABD=S_△ABD=

又V_圓柱=π?AD=，

由題設(shè)知

即

（25）（本小題滿分12分）

某地為促進(jìn)淡水魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)淡水魚(yú)養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼。設(shè)淡水魚(yú)的市場(chǎng)價(jià)格為x元/千克，政府補(bǔ)貼為t元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚(yú)的市場(chǎng)日供應(yīng)量P千克與市場(chǎng)日需求量Q千克近似的滿足關(guān)系：

當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格。

（Ⅰ）將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域;

（Ⅱ）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于每千克10元，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？

解：（Ⅰ）依題設(shè)有

化簡(jiǎn)得

當(dāng)判別式時(shí)，可得

解不等式組①，得不等式組②無(wú)解。

故所求的函數(shù)關(guān)系式為

函數(shù)的定義域?yàn)閇0，]

（Ⅱ）為使，應(yīng)有

化簡(jiǎn)得

解得

從而政府補(bǔ)貼至少為每千克1元。

（26）（本小題滿分12分）

已知橢圓，直線.P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|?|OP|=|OR|².當(dāng)點(diǎn)P在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線。

解：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn).設(shè)P，R，Q的坐標(biāo)分別為

        y                     

                   P           

            R                   

          Q                    

       O                x     

（12,y_P),（x_R,y_R),（x,y),

由題設(shè)知x_R,>0,x>0.

由點(diǎn)R在橢圓上及點(diǎn)O，Q，R共線，得方程組

解得

由點(diǎn)O，Q，P共線，得

即

由題設(shè)|OQ|?|OP|=|OR|²，得

將（1）、（2）（3）式代入上式，整理得點(diǎn)Q的軌跡方程

所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，0）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為1和且長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。

一九九六年（理科）

（1）已知全集I=N，集合，。則                                              （ C ）

（A） （B） （C） （D）

（2）當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是                                              （ A ）

(A) y          (B)   y         (C)    y        (D)      y      

    o   1    x   o    1    x      o  1     x      o  1    x 

（3）若，則x的取值范圍是             （ D ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）復(fù)數(shù)等于                              （ B ）

（A）  （B）  （C）  （D）

（5）如果直線、與平面、、滿足：和，那么必有                                      （ A ）

（A）且             （B）且

（C）且             （D）且

（6）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的          （ D ）

（A）最大值是1，最小值是-1

（B）最大值是1，最小值是

（C）最大值是2，最小值是-2

（D）最大值是2，最小值是-1

（7）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是             （ B ）

（A）（-3，5），（-3，-3）  （B）（3，3），（3，-5）

（C）（1，1），（-7，1）    （D）（7，-1），（-1，-1）

（8）若，則等于 （ A ）

（A）      （B）     （C）   （D）

（9）將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為                             （ D ）

（A）     （B）      （C）   （D）

（10）等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若，則等于                                        （ B ）

（A）      （B）        （C）2      （D）-2

（11）橢圓的極坐標(biāo)方程為，則它在短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)是                                      （ C ）

（A）（3，0），（1，）  （B）（），（）

（C）（2，），（2，） （D）（），（）

（12）等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為                                     （ C ）

（A）130     （B）170    （C）210     （D）260

（13）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過(guò)（，0），（0，）兩點(diǎn)。已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為                                         （ A ）

（A）2      （B）     （C）      （D）

（14）母線長(zhǎng)為1的圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角等于                                             （ D ）

（A）    （B）   （C）      （D）

（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于                                  （ B ）

（A）0.5      （B）-0.5    （C）1.5    （D）-1.5

（16）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。則p=__________

答：2

（17）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有_______個(gè)（用數(shù)字作答）

答：32

(18)的值是_______

   D             C      

     A               B  

  F             E       

答：

（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60⁰的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______

答：

（20）（本小題滿分11分）

解不等式

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：

因?yàn)樗��?/p>

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：

由（1）得，

由（2）得，

綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

（21）（本小題滿分12分）

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足：

A+C=2B，求的值。

解：由題設(shè)條件知：

B=60⁰，A+C=120⁰

利用和差化積及積化和差公式，上式可化為

將代入上式并整理得

從而得

（22）（本小題滿分12分）

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁

   A          C      

        B           

           E        

  A₁            C₁   

          B₁        

（Ⅰ）求證：BE=EB₁;

（Ⅱ）若AA₁=A₁B₁，求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角（銳角）的度數(shù)。

注意：在下面橫線上填寫(xiě)適當(dāng)內(nèi)容，使之成為（Ⅰ）的完整證明，并解答（Ⅱ）。

（Ⅰ）證明：在截面A₁EC內(nèi)，

過(guò)E作EG⊥A₁C，G是垂足。

   A    F     C    

           B        

      G             

           E        

 A₁            C₁   

   D      B₁        

①∵面A₁EC⊥側(cè)面AC₁，

∴EG⊥側(cè)面AC₁;取AC中點(diǎn)F，連結(jié)BF，F(xiàn)G，由AB=BC得BF⊥AC，

②∵面ABC⊥側(cè)面AC₁，

∴BF⊥側(cè)面AC₁;得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FG。

③∵BE∥側(cè)面AC₁，

∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG，

④∵BE∥AA₁，

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤∵AF=FC，

∴FG=AA₁=BB₁，即BE=BB₁，故BE=EB₁。

（Ⅱ）解：分別延長(zhǎng)CE、C₁B₁交于點(diǎn)D，連結(jié)A₁D

∵EB₁∥CC₁，EB₁=BB₁=CC₁，

∴DB₁=DC₁=B₁C₁=A₁B₁，

∵∠B₁A₁C₁=∠B₁C₁A₁=60⁰，∠DA₁B₁=∠A₁DB₁=（180⁰-∠DB₁A₁）=30⁰，

∴∠DA₁C₁=∠DA₁B₁+∠B₁A₁C₁=90⁰，即DA₁⊥A₁C₁。

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA₁⊥A₁C

所以∠CA₁C₁是所求二面角的平面角。

∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁，∠A₁C₁C=90⁰，

∴∠CA₁C₁=45⁰，即所求二面角為45⁰。

（23）（本小題滿分10分）

某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？

（=，=）

解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。

依題意得不等式

化簡(jiǎn)得

答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。

（24）（本小題滿分12分）

已知是過(guò)點(diǎn)P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點(diǎn)，分別為A₁、B₁和A₂、B₂。

（Ⅰ）求的斜率k₁的取值范圍;

（Ⅱ）若|A₁B₁|=|A₂B₂|，求的方程。

解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組

    （1）

有兩個(gè)不同的解。在方程組（1）中消去y，整理得

  （2）

若，則方程組（1）只有一個(gè)解，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾。

故，即。方程（2）的判別式為

設(shè)的斜率為k_2,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組

    （3）

有兩個(gè)不同的解。在方程組（3）中消去y，整理得

  （4）

同理有，

又因?yàn)�，所以�?/p>

于是，與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于

（Ⅱ）設(shè)A₁（x₁,y₁）B₁（x₂,y₂）.由方程（2）知

同理，由方程（4）可求得|A₂B₂|²，整理得

由|A₁B₁|=|A₂B₂|，得|A₁B₁|²=5|A₂B₂|².

將（5）、（6）代入上式得

解得

取時(shí)，

取時(shí)，

（25）（本小題滿分12分）

已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)當(dāng)時(shí)，

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，

（Ⅲ）設(shè)當(dāng)時(shí)，的最大值為2，求.

（Ⅰ）證明：由條件當(dāng)時(shí)，，

取x=0得，即

（Ⅱ）證法一：當(dāng)時(shí)，在[-1，1]上是增函數(shù)，

由此得 

當(dāng)時(shí)，在[-1，1]上是減函數(shù)，

由此得 

當(dāng)時(shí)，

綜上得 

證法二：由可得

當(dāng)時(shí)，有

根據(jù)含絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)，得

即

（Ⅲ）因?yàn)闀r(shí)，在[-1，1]上是增函數(shù)，

當(dāng)x=1時(shí)取最大值2，

即

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直線x=0為的圖象的對(duì)稱軸，由此得

由（1）得

所以

一九九六年（文科）

（1）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7}集合A={1，3，5，7}，B={3，5}.則                                     （ C ）

（A） （B） （C） （D）

（2）當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是                                              （ A ）

(A) y         (B)    y         (C)  y          (D)     y         

    o   1    x    o    1    x      o  1     x      o  1   x 

（3）若，則x的取值范圍是             （ D ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（4）復(fù)數(shù)等于                             （ B ）

（A）  （B）  （C）  （D）

（5）6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有                                            （ C ）

（A）720種  （B）360種   （C）240種  （D）120種

（6）已知是第三象限角且，則         （ D ）

（A）      （B）       （C）    （D）

（7）如果直線、與平面、、滿足：和，那么必有                                   （ A ）

（A）且          （B）且

（C）且          （D）且

（8）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的       （ D ）

（A）最大值是1，最小值是-1

（B）最大值是1，最小值是

（C）最大值是2，最小值是-2

（D）最大值是2，最小值是-1

（9）中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，離心率為的橢圓方程是

（A）            （B）          （ A ）

（C）            （D）

（10）圓錐母線長(zhǎng)為1，側(cè)面展開(kāi)圖圓心角為240⁰，該圓錐的體積是                                              （ C ）

（A）    （B）    （C）     （D）

（11）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 （ B ）

（A）（-3，5），（-3，-5）   （B）（3，3），（3，-5）

（C）（1，1），（-7，1）     （D）（7，-1），（-1，-1）

（12）將邊長(zhǎng)為的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得BD=，則三棱錐D-ABC的體積為                             （ D ）

（A）     （B）      （C）    （D）

（13）等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為                                     （ C ）

（A）130     （B）170      （C）210     （D）260

（14）設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過(guò)（，0），（0，）兩點(diǎn)。已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為                                         （ A ）

（A）2      （B）     （C）     （D）

（15）設(shè)是上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則等于                                   （ B ）

（A）0.5    （B）-0.5    （C）1.5    （D）-1.5

（16）已知點(diǎn)（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則p=__________

答：4

（17）正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有_______個(gè)（用數(shù)字作答）

答：32

(18)的值是_______

   D             C      

     A               B  

  F             E       

答：

（19）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60⁰的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是_______

答：

（20）（本小題滿分11分）

解不等式

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組：

綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

（21）（本小題滿分12分）

設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若S₃+S₆=2S₉，求數(shù)列的公比q.

解：q=1，則有S₃=3，S₆=6，S₉=9.但，即得S₃+S₆≠2S₉，與題設(shè)矛盾，故.

又依題意S₃+S₆=2S₉可得

（22）（本小題滿分12分）

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足：

A+C=2B，求的值。

解：由題設(shè)條件知：

B=60⁰，A+C=120⁰

利用和差化積及積化和差公式，上式可化為

將代入上式并整理得

從而得

（23）（本小題滿分12分）

【注意：本題的要求是，參照標(biāo)本①的寫(xiě)法，在標(biāo)本②、③、④、⑤的橫線上填寫(xiě)適當(dāng)步驟，完成（Ⅰ）證明的全過(guò)程;并解答（Ⅱ）.】

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=，E、F分別是BB₁、CC₁上的點(diǎn)，且BE=，CF=2

   A₁         C₁       

        B₁           

                F    

           E         

  A            C     

        B            

（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF;

（Ⅱ）求三棱錐A₁-AEF的體積。

（Ⅰ）證明：

①∵BE=，CF=2，BE∥CF，延長(zhǎng)FE與CB延長(zhǎng)線交于D，連結(jié)AD。

∴△DBE∽△DCF，

∴

②∵BE:CF=1:2，∴DC=2DB，∴DB=BC，

∴DB=AB.

③∵△ABD是等腰三角形，

且∠ABD=120⁰，∴∠BAD=30⁰，

∴∠CAD=90⁰，∴DA⊥AC.

④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上的射影，

且CA⊥AD，∴FA⊥AD.

⑤∵FF∩AC=A，DA⊥面ACF，而DA  面ADF，

   A₁   G      C₁       

        B₁           

                F    

           E         

  A            C    

          B         

    D               

∴面ADF⊥面ACF.∴面AEF⊥面ACF.

（Ⅱ）解：∵V_A1-AEF=V_E-AA1F.

在面A₁B₁C₁內(nèi)作B₁G⊥A₁C₁，

垂足為G.  B₁G=.

面A₁B₁C₁⊥面A₁C，

∴EBB₁，而B(niǎo)B₁∥面A₁C，

∴三棱錐E-AA₁F的高為.

S_△A1AF=?AA₁?AC=.

∴V_A1-AEF=V_E-AA1F=

（24）（本小題滿分10分）

某地現(xiàn)有耕地１0000公頃。規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到１公頃）？

（=，=）

解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公頃，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃。

依題意的不等式

化簡(jiǎn)得

答：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃。

（25）（本小題滿分12分）

已知是過(guò)點(diǎn)P（）的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各有兩交點(diǎn)，分別為A₁、B₁和A₂、B₂。

（Ⅰ）求的斜率k₁的取值范圍;

（Ⅱ）若A₁恰是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，求|A₂B₂|的值。

解：（Ⅰ）依題意，的斜率都存在。因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組

    （1）

有兩個(gè)不同的解。在方程組（1）中消去y，整理得

  （2）

若，則方程組（1）只有一個(gè)解，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾。

故，即。方程（2）的判別式為

設(shè)的斜率為k_2,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（）且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組

    （3）

有兩個(gè)不同的解。在方程組（3）中消去y，整理得

  （4）

同理有，

又因?yàn)�，所以�?/p>

于是，與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于

（Ⅱ）雙曲線的頂點(diǎn)為（0，1）、（0，-1）。

取A₁（0，1）時(shí)，有

解得從而，

將代入方程（4）得

     （5）

記與雙曲線的兩交點(diǎn)為A₂（x₁,y₁）B₂（x₂,y₂）.則

由（5）知

同理，由方程（4）可求得|A₂B₂|²，整理得

當(dāng)取A₁（0，-1）時(shí)，由雙曲線關(guān)于x軸的對(duì)稱性，知

所以過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，。

一九九七年（理科）

（1）設(shè)集合M=，集合N=，集合                                       （ B ）

（A）       （B）

（C）       （D）

（2）如果直線與直線平行，那么系數(shù)                                            （ B ）

（A）-3      (B)-6      (C)        (D)

（3）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是      （ A ）

(A)             (B)            (C)            (D)                 

      y                y            y              y               

  o    x     o      x   o       x     o       x      

（4）已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是

（A）  （B）  （C）   （D）  （ C ）

（5）函數(shù)的最小正周期是       （ B ）

（A）        （B）       （C）  （D）

（6）滿足的x的取值范圍是      （ D ）

（A）[-1，]（B）[，0]（C）[0，]（D）[，1]

（7）將的圖象                              （ D ）

（A）先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位（B）先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位

（C）先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位（D）先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位

再作關(guān)于直線對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)的圖象

（8）長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3，4，5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是        （ C ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（9）曲線的參數(shù)方程是，它的普通方程是（A）     （B）            （ B ）

（C）       （D）

（10）函數(shù)的最小值為             （ B ）

（A）2    （B）0       （C）      （D）6

（11）橢圓C與橢圓關(guān)于直線對(duì)稱，橢圓C的方程是                                    （ A ）

（A）   （B）

（C）   （D）

（12）圓臺(tái)上、下底面積分別為，側(cè)面積為，這個(gè)圓臺(tái)的體積是                                            （ D ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（13）定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù);偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合。設(shè)，給出下列不等式：                                               （ C ）

①  ②

③  ④

其中成立的是

（A）①與④  （B）②與③  （C）①與③  （D）②與④

（14）不等式組的解集是                   （ C ）

（A）            （B）

（C）          （D）

（15）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有                             （ D ）

（A）150種   （B）147種   （C）144種   （D）141種

（16）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_(kāi)____

答：4

（17）已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是_______

答：

(18)的值為_(kāi)______

答：

（19）已知是直線，是平面，給出下列命題：

①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則

②若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線;

③若

④若

⑤若

其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

答：①，④

（20）（本小題滿分10分）

已知復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，Q。證明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）

解：因?yàn)?/p>

因?yàn)?/p>

于是

由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| .

由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形。

（21）（本小題滿分11分）

已知數(shù)列都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為，其中，且設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和.求

解：

分兩種情況討論：

（1）

（2）

（22）（本小題滿分12分）

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)C千米/小時(shí)。，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為；固定部分為元。

（Ⅰ）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，

全程運(yùn)輸成本為

故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?/p>

（Ⅱ）依題意知S，都為正數(shù)，故有

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式中等號(hào)成立。

若時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小

若時(shí)，有

因?yàn)?/p>

所以時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)時(shí)，

全程運(yùn)輸成本y最小。

綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為

當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為。

（23）（本小題滿分12分）

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)。

   D₁            C₁   

A₁          B₁        

               E       

   D             C    

     H      F          

A              B      

        G             

（Ⅰ）證明AD⊥D₁F;

（Ⅱ）求AE與D₁F所成的角;

（Ⅲ）證明面AED⊥面A₁FD₁;

（Ⅳ）設(shè)AA₁=2，求三棱錐F-A₁ED₁的

體積V_F-A1ED1.

解：（Ⅰ）∵AC₁是正方體，

∴AD⊥面DC₁，又D₁F面DC₁，

∴AD⊥D₁F.

（Ⅱ）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G，F(xiàn)G

因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，

又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，

故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F。

設(shè)A₁G與AE相交與點(diǎn)H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角。

因?yàn)镋是BB₁的中點(diǎn)，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，

∠GA₁A=∠GAH，從而∠AHA₁=90⁰，即直線AE與D₁F所成角為直角。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D₁F，由（Ⅱ）知AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED

又因?yàn)镈₁F面A₁FD₁，所以面AED⊥面A₁FD₁.

（Ⅳ）連結(jié)GE，GD₁.

∵FG∥A₁D₁，∴FG∥面A₁ED₁，

∴體積V_F-A1ED1=V_G-A1ED1=V_D1-A1GE，

∵AA₁=2，∴面積S_△A1GE=S_□ABB1A1-2S_△A1AG-S_△GBE=

∴V_F-A1ED1=V_D1-A1GE=

（24）（本小題滿分12分）

設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明：

解：（Ⅰ）令因?yàn)槭欠匠痰母�，所�?/p>

（Ⅱ）依題意知

因?yàn)槭欠匠痰母�，即是方�?/p>

的根

所以

（25）（本小題滿分12分）

設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1。在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線：的距離最小的圓的方程。

解法一：設(shè)圓的圓心為，半徑為，則點(diǎn)P到x軸，y軸距離分別為

由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90⁰，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，故

又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有從而得

又點(diǎn)到直線的距離為

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)，從而取得最小值.

由此有解此方程組得

由于知

于是，所求圓的方程是

解法二：同解法一得

，得

將代入（1）式，整理得

把它看作的二次方程，由于方程有實(shí)根，故判別式非負(fù)，即

所以  有最小值1，從而有最小值

將其中代入（2）式得解得

將代入

綜上

由同號(hào)。

于是，所求圓的方程是

一九九七年（文科）

（1）設(shè)集合M=，集合N=，集合                                       （ B ）

（A）     （B）

（C）     （D）

（2）如果直線與直線平行，那么系數(shù)                                            （ B ）

（A）-3      (B)-6      (C)        (D)

（3）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是      （ A ）

(A)             (B)            (C)            (D)                 

      y                y            y              y               

  o    x     o      x   o       x     o       x      

（4）已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB=AC=，BC=2，則以BC為棱，以面BCD與面BCA為面的二面角的大小是

（A）        （B）      （C）   （D）  （ C ）

（5）函數(shù)的最小正周期是       （ B ）

（A）        （B）      （C）  （D）

（6）滿足的角的一個(gè)取值區(qū)間是         （ C ）

（A）（0，] （B）[0，] （C）[，） （D）[，]

（7）設(shè)函數(shù)定義域在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)與

 的圖象關(guān)于                             （ D ）

（A）直線y=0對(duì)稱       （B）直線x=0對(duì)稱

（C）直線y=1對(duì)稱       （D）直線x=1對(duì)稱

（8）長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3，4，5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是        （ C ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（9）如果直線將圓：平分，且不通過(guò)第四象限，那么的斜率的取值范圍是                     （ A ）

（A）[0，2]  （B）[0，1]  （C）[0，] （D）[0，）

（10）函數(shù)的最小值為             （ B ）

（A）2    （B）0       （C）      （D）6

（11）橢圓C與橢圓關(guān)于直線對(duì)稱，橢圓C的方程是                                    （ A ）

（A）   （B）

（C）   （D）

（12）圓臺(tái)上、下底面積分別為，側(cè)面積為，這個(gè)圓臺(tái)的體積是                                            （ D ）

（A）   （B）   （C）    （D）

（13）定義在區(qū)間的奇函數(shù)為增函數(shù);偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合。設(shè)，給出下列不等式：                                               （ C ）

①  ②

③  ④

其中成立的是

（A）①與④  （B）②與③  （C）①與③  （D）②與④

（14）不等式組的解集是                   （ C ）

（A）            （B）

（C）          （D）

（15）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有         （ B ）

（A）30種   （B）33種   （C）36種   （D）39種

（16）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為_(kāi)____

答：4

（17）已知直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是_______

答：（4，2）

(18)的值為_(kāi)______

答：

（19）已知是直線，是平面，給出下列命題：

①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則

②若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線;

③若

④若

⑤若

其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

答：①，④

（20）（本小題滿分10分）

已知復(fù)數(shù)求復(fù)數(shù)的模及輻角主值。

解：

故復(fù)數(shù)的模為，輻角主值為.

（21）（本小題滿分11分）

設(shè)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和。已知與的等比中項(xiàng)為，與的等差數(shù)列中項(xiàng)為1。求等差數(shù)列的通項(xiàng).

解：設(shè)等差數(shù)列數(shù)列的首項(xiàng)公差為，

則通項(xiàng)為

前n項(xiàng)和為

依題意有

其中由此可得

整理得解方程組得

由此得

經(jīng)驗(yàn)證知均適合題意。

故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)為

（22）（本小題滿分12分）

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)C千米/小時(shí)。，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為；固定部分為元。

（Ⅰ）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

解：（Ⅰ）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為，

全程運(yùn)輸成本為

故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?/p>

（Ⅱ）依題意知S，都為正數(shù)，故有

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式中等號(hào)成立。

若時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小

若時(shí)，有

因?yàn)?/p>

所以時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)時(shí)，

全程運(yùn)輸成本y最小。

綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為

當(dāng)時(shí)行駛速度應(yīng)為。

（23）（本小題滿分12分）

   D₁            C₁   

A₁          B₁        

               E       

   D             C    

           F          

A              B      

        G             

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明AD⊥D₁F;

（Ⅱ）求AE與D₁F所成的角;

（Ⅲ）證明面AED⊥面A₁FD₁;

（Ⅳ）設(shè)AA₁=2，求三棱錐E-AA₁F的體積V_E-AA1F.

解：（Ⅰ）∵AC₁是正方體，

∴AD⊥面DC₁，又D₁F面DC₁，

∴AD⊥D₁F.

（Ⅱ）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G，F(xiàn)G

因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、AD平行且相等，

又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，

故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F。

設(shè)A₁G與AE相交與點(diǎn)H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角。

因?yàn)镋是BB₁的中點(diǎn)，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，

∠GA₁A=∠GAH，從而∠AHA₁=90⁰，即直線AE與D₁F所成角為直角。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D₁F，由（Ⅱ）知AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED

又因?yàn)镈₁F面A₁FD₁，所以面AED⊥面A₁FD₁.

（Ⅳ）∵體積V_E-AA1F=V_F-AA1E，

又FG⊥面ABB₁A₁，三棱錐F-AA₁E的高FG=AA₁=2，

面積S_△AA1E=S_□ABB1A1=

∴V_E-AA1F =

（24）（本小題滿分12分）

已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn)。

（Ⅰ）證明點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上;

（Ⅱ）當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為，

由題設(shè)知，，則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為

因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，

所以

點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為

由于

OC的斜率OD的斜率

由此可知，

即O、C、D在同一條直線上。

（Ⅱ）由于BC平行于x軸知即得

代入得

由于

考慮

于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（25）（本小題滿分12分）

設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2;②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3:1;③圓心到直線：的距離為。求該圓的方程。

解法一：設(shè)圓的圓心為，半徑為，則點(diǎn)P到x軸，y軸距離分別為

由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為90⁰，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，故

又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有從而得

又點(diǎn)到直線的距離為，所以

即有，由此有

解方程組得于是知

所求圓的方程是

于是，所求圓的方程是

一九九八年（理科）

（1）的值是                           （ D ）

（A）    （B）    （C）    （D）

（2）函數(shù)的圖象是                 （ B ）

（A） y         (B)       y           (C)       y       (D)     y        

                                                1                        

                           1                                    1        

    o      x            o      x             o      x        o      x    

（3）曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為    （ B ）

（A）       （B）

（C）       （D）

（4）兩條直線A₁x+B₁y+C₁=0,A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要條件（ A ）

（A）A₁A₂+B₁B₂=0（B）A₁A₂-B₁B₂=0（C）（D）

（5）函數(shù)的反函數(shù)                （ B ）

（A） （B） （C） （D）

（6）已知點(diǎn)P在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是                                            （ B ）

（A）       （B）

（C）      （D）

（7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為                                （ C ）

（A）120⁰     （B）150⁰  （C）180⁰    （D）240⁰

（8）復(fù)數(shù)-i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是 （ D ）

（A） （B） （C） （D）

（9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S，S＇，中截面的面積是S₀，那么                                              （ A ）

   y             

        H   h    

（A）       （B）

（C）           （D）

（10）向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是                         （ B ）

（A）            （B）           （C）           （D）

（11）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體驗(yàn)，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士。不同的分配方法共有      （ D ）

（A）90種   （B）180種    （C）270種  （D）540種

（12）橢圓的焦點(diǎn)為F₁和F₂，點(diǎn)P在橢圓上。如果線段PF₁的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF₁|是|PF₂|的          （ A ）

（A）7倍    （B）5倍      （C）4倍     （D）3倍

（13）球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為（ B ）

（A）     （B）     （C）2        （D）

（14）一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為（ B ）

（A）（B）（C）（D）

（15）在等比數(shù)列中，且前n項(xiàng)和滿足那么的取值范圍是                                  （ D ）

（A）   （B）（1，4）  （C）（1，2）  （D）（1，）

（16）設(shè)圓過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是__________

答：

（17）的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）

答：179

   A₁        D₁    

B₁                 

           C₁      

   A           D   

B                  

           C       

(18)如圖，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A₁C⊥B₁D₁.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）

答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）

（19）關(guān)于函數(shù)，

有下列命題：

①由可得必是的整數(shù)倍;

②的表達(dá)式可改寫(xiě)成

③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

答：②，③

（20）（本小題滿分10分）

在△ABC中，分別是接A，B，C的對(duì)邊，設(shè)A-C=求的值。以下公式供解題時(shí)參考：

解：由正弦定理和已知條件得

由和差化積公式

由A+B+C=得

又A-C=得

（21）（本小題滿分11分）

如圖，直線和相交于點(diǎn)M，⊥，點(diǎn)以A，B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程。

       y                 

                 B        

         A               

  M   O    N       x   

解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點(diǎn)。

設(shè)曲線段C的方程為

其中分別為A，B的橫坐標(biāo)，

由得

由（1），（2）兩式聯(lián)立解得再將其代入（1）式并由解得

因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以故舍去

由點(diǎn)B在曲線段C上，得

綜上得曲線段C的方程為

      y                   

                 B        

   F                    

         A               

   D                    

  M  O   E N       x   

解法二：如圖建立坐標(biāo)系，

以、為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn).

作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分別為E、D、F.

設(shè)

依題意有

由于△AMN為銳角三角形，故有

設(shè)點(diǎn)是曲線段C上任一點(diǎn)，得由題意知P屬于集合

故曲線段C的方程為

（22）（本小題滿分12分）

A                        

                  B       

                 2      

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長(zhǎng)度為米，高度為米。已知流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與的乘積成反比�，F(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)當(dāng)各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則，其中k＞0為比例系數(shù)。依題意，即所求的值使y值最小。

根據(jù)題設(shè)，有

得

于是

當(dāng)時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值

這時(shí)（舍去）

將代入（1）式得

故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

解法二：即所求的值使最大

由題設(shè)知

即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào).

由解得

即當(dāng)時(shí)，取得最大值為18.

解得

故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

（23）（本小題滿分12分）

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90⁰，BC=2，AC=，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大小;

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小;

（Ⅲ）求頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離。

 A₁              C₁   

         B₁         

     H              

  D                 

A             C         

    E      B

（Ⅰ）解：作A₁D⊥AC，垂足為D，

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC，∴∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角.∵AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，

∴∠A₁AD=45⁰為所求。

（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.

又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=，

∴DE=1，AD=A₁D=，

故∠A₁ED=60⁰為所求。

（Ⅲ）解法一：由點(diǎn)C作平面A₁ABB₁的垂線，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是C到平面A₁ABB₁的距離。

連結(jié)HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.

又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，∴∠HBC=∠A₁ED=60⁰.

∴CH=BC為所求.

解法二：連結(jié)A₁B.

根據(jù)定義，點(diǎn)C到面A₁ABB₁的距離，即為三棱錐C-A₁AB的高h(yuǎn)

由

即為所求.

（24）（本小題滿分12分）

設(shè)曲線C的方程是將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C₁.

（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C₁的方程;

（Ⅱ）證明曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

（Ⅲ）如果C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明

（Ⅰ）解：曲線C₁的方程為

（Ⅱ）證明：在曲線C上任取一點(diǎn)B₁（x₁,y₁).設(shè)B₂（x₂,y₂)是B₁關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，則有

代入曲線C的方程，得滿足方程：

，

可知點(diǎn)B₂（x₂,y₂)在曲線C₁上.

反過(guò)來(lái)，同樣可以證明，在曲線C₁上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上.

因此，曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱。

（Ⅲ）證明：因?yàn)榍�線C與C₁有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，，所以，方程組有且僅有一組解。

消去y，整理得

這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有且僅有一個(gè)根。

所以并且其根的判別式

（25）（本小題滿分12分）

已知數(shù)列是等差數(shù)列，

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，記是數(shù)列的前n項(xiàng)和.試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得

（Ⅱ）由知

因此要比較與的大小，可先比較

的大小。

取n=1有

取n=2有

……

由此推測(cè)   ①

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：

當(dāng)時(shí)，＞.

當(dāng)時(shí)，＜.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.

（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立.

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

因而

就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立。由（i）（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立。

因此證得：當(dāng)時(shí)，＞.

當(dāng)時(shí)，＜.

一九九八年（文科）

（1）的值是                                 （ D ）

（A）    （B）    （C）    （D）

（2）函數(shù)的圖象是                       （ B ）

（A） y         (B)       y           (C)       y       (D)     y        

                                                1                         

                           1                                    1        

    o      x            o      x             o      x        o      x    

（3）已知直線和圓相切，那么的值是

（A）5      （B）4      （C）3     （D）2         （ C ）

（4）兩條直線A₁x+B₁y+C₁=0,A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要條件（ A ）

（A）A₁A₂+B₁B₂=0（B）A₁A₂-B₁B₂=0（C）（D）

（5）函數(shù)的反函數(shù)                （ B ）

（A） （B） （C） （D）

（6）已知點(diǎn)P在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是                                            （ B ）

（A）       （B）

（C）      （D）

（7）已知圓錐的全面積是底面積的3倍，那么該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的圓心角為                                （ C ）

（A）120⁰     （B）150⁰  （C）180⁰    （D）240⁰

（8）復(fù)數(shù)-i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是 （ D ）

（A） （B） （C） （D）

（9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S，S＇，中截面的面積是S₀，那么                                              （ A ）

（A）        （B）

（C）            （D）

（10）2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體驗(yàn)，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士。不同的分配方法共有        （ B ）

   y             

        H   h    

（A）6種    （B）12種    （C）18種  （D）24種

（11）向高為H的水瓶中注水，注滿

為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)

關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的

形狀是                     （ B ）

（A）            （B）           （C）           （D）

（12）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，點(diǎn)P在橢圓上。如果線段PF₁的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是        （ A ）

（A）    （B）      （C）     （D）

（13）球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的，經(jīng)過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的小圓的周長(zhǎng)為，那么這個(gè)球的半徑為（ B ）

（A）     （B）     （C）2        （D）

（14）一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角的正弦值為                                        （ C ）

（A）   （B）  （C）      （D）

（15）等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和滿足那么的值為                                        （ D ）

（A）   （B）     （C）     （D）

（16）設(shè)圓過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是__________

答：

（17）的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）

答：179

   A₁        D₁    

B₁                 

           C₁      

   A           D   

B                  

            C       

(18)如圖，在直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A₁C⊥B₁D₁.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）

答：AC⊥CD，（或ABCD是正方形，菱形等等）

（19）關(guān)于函數(shù)，

有下列命題：

①的表達(dá)式可改寫(xiě)成

②是以為最小正周期的周期函數(shù);

③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

其中正確的命題的序號(hào)是________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

答：①，③

（20）（本小題滿分10分）

設(shè)，解關(guān)于x的不等式

解：將原不等式化為

移項(xiàng)，整理后得

，即

即

解此不等式，得解集

（21）（本小題滿分11分）

在△ABC中，分別是接A，B，C的對(duì)邊，設(shè)A-C=求的值。以下公式供解題時(shí)參考：

解：由正弦定理和已知條件得

由和差化積公式

由A+B+C=得

又A-C=得

（22）（本小題滿分12分）

如圖，直線和相交于點(diǎn)M，⊥，點(diǎn)以A，B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程。

       y                 

                 B        

         A               

  M   O    N       x   

解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A，B分別為C的端點(diǎn)。

設(shè)曲線段C的方程為

其中分別為A，B的橫坐標(biāo)，

由得

由（1），（2）兩式聯(lián)立解得再將其代入（1）式并由解得

因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以故舍去

由點(diǎn)B在曲線段C上，得

綜上得曲線段C的方程為

      y                   

                 B        

   F                    

         A               

   D                    

  M  O   E N       x   

解法二：如圖建立坐標(biāo)系，

以、為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn).

作AE⊥，AD⊥，BF⊥，垂足分別為E、D、F.

設(shè)

依題意有

由于△AMN為銳角三角形，故有

設(shè)點(diǎn)是曲線段C上任一點(diǎn)，得由題意知P屬于集合

故曲線段C的方程為

（23）（本小題滿分12分）

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90⁰，BC=2，AC=，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C.

（Ⅰ）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大小;

（Ⅱ）求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小;

（Ⅲ）求側(cè)棱B₁B和側(cè)面A₁ACC₁的距離。

 A₁              C₁   

         B₁         

  D  F               

A             C         

    E      B

（Ⅰ）解：作A₁D⊥AC，垂足為D，

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC，∴∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角.∵AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，

∴∠A₁AD=45⁰為所求。

（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，

∴∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.

又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=，

∴DE=1，AD=A₁D=，

故∠A₁ED=60⁰為所求。

（Ⅲ）作BF⊥AC，F(xiàn)為垂足，由面A₁ACC₁⊥面ABC，知BF⊥面A₁ACC₁

∵B₁B∥面A₁ACC₁

∴BF的長(zhǎng)是B₁B和平面A₁ACC₁的距離。

連結(jié)HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB.

在Rt△ABC中，

∴為所求。

（24）（本小題滿分12分）

A                         

                  B       

                 2      

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱。污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長(zhǎng)度為米，高度為米。已知流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與的乘積成反比。現(xiàn)有制箱材料60平方米。問(wèn)當(dāng)各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最�。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則，其中k＞0為比例系數(shù)。依題意，即所求的值使y值最小。

根據(jù)題設(shè)，有

得

于是

當(dāng)時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值

這時(shí)（舍去）

將代入（1）式得

故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

解法二：即所求的值使最大

由題設(shè)知

即

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào).

由解得

即當(dāng)時(shí)，取得最大值為18.

解得

故當(dāng)為6米，為3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。

（25）（本小題滿分12分）

已知數(shù)列是等差數(shù)列，

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，記是數(shù)列的前n項(xiàng)和.試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意得

（Ⅱ）由知

因此要比較與的大小，可先比較

的大小。

取n=1有

取n=2有

……

由此推測(cè)   ①

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：

＞.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.

（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立.

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

因而

就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立。

由（i）（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立。

因此證得＞.

一九九九年（理科）

（1）如圖,I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是，則                               （ C ）

（A）（MP）S

（B）（MP）S

（C）（MP）

（D）（MP）

（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對(duì)任意的，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（ A ）

（A）4      （B）5      （C）6       （D）7

（3）函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A）      （B）    （C）       （D）    （ A ）

（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)上 （ C ）

（A）是增函數(shù)            （B）是減函數(shù)

（C）可以取得最大值M     （D）可以取得最小值-M

（5）若是周期為的奇函數(shù)，則可以是    （ B ）

（A）   （B）     （C）    （D）

（6）在極坐標(biāo)系中，曲線關(guān)于           （ B ）

（A）直線軸對(duì)稱     （B）直線軸對(duì)稱

（C）點(diǎn)中心對(duì)稱     （D）極點(diǎn)中心對(duì)稱

（7）若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm。若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是                          （ B ）

（A）cm   （B）6cm    （C）cm  （D）cm

（8）若

的值為                                    （ A ）

（A）1       （B）-1     （C）0       （D）2

（9）直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為

（A）       （B）     （C）      （D）     （ C ）

      E       F         

         D           C  

 A              B

（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則多面體的體積為                 （ D ）

（A）  （B）5    （C）6   （D）

（11）若              （ B ）

（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）

（12）如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積比為1:2，那么R= （ D ）

（A）10      （B）15       （C）20     （D）25

（13）已知兩點(diǎn)M（1，）、N（-4，-），給出下列曲線方程：

①  ②  ③  ④

在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是     （ D ）

（A）①③    （B）②④     （C）①②③  （D）②③④

（14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤(pán)至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有           （ C ）

（A）5種        （B）6種        （C）7種        （D）8種

（15）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₁，右準(zhǔn)線為。若過(guò)F₁且垂直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F₁到的距離，則橢圓的離心率是__________

答：

（16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共用______種（用數(shù)字作答）

答：12

（17）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是_______

答：

（18）是兩個(gè)不同平面，是平面之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：

①   ②    ③    ④

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：__________

答：，，或，，

（19）（本小題滿分10分）

解不等式

解：原不等式等價(jià)于

由(1)得由(2)得

由(3)得由此得

當(dāng)時(shí)得所求的解集是;

當(dāng)時(shí)得所求的解集是

（20）（本小題滿分12分）

設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)最大值以及對(duì)應(yīng)的值。

解:由

由得

故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),上式取等號(hào).

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值

由內(nèi)正切函數(shù)是遞增函數(shù),

函數(shù)y也取最大值.

（21）（本小題滿分12分）

如圖,已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁,點(diǎn)E在棱D₁D上,截面EAC∥D₁B,且面EAC與底面ABCD所成的角為45⁰,AB=.

     D₁          C₁   

A₁           B₁       

     E                

           P          

         Q              

      D          C    

         O            

 A          B         

（Ⅰ）求截面EAC的面積;

（Ⅱ）求異面直線A₁B₁與AC之間的距離;

（Ⅲ）求三棱錐B₁-EAC的體積。

（Ⅰ）解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO�！叩酌鍭BCD是正方形，∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。

∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD=45⁰。DO=

故

（Ⅱ）解：由題設(shè)ABCD- A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，

A₁A⊥AC。又A₁A⊥A₁B₁，

∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線。

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD與面EAC交線為EO，∴D₁B∥EO。

又O是DB的中點(diǎn)，∴E是D₁D的中點(diǎn)，D₁B=2EO=2。

∴D₁D=

異面直線A₁B₁與AC間的距離為

（Ⅲ）解：連結(jié)D₁B₁�！逥₁D=DB=，∴BDD₁B₁是正方形。

連結(jié)B₁D交D₁B于P，交EO與Q

∵B₁D⊥D₁B，EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO。

又AC⊥EO，AC⊥ED�！郃C⊥面BDD₁B₁，∴B₁D⊥AC，∴B₁D⊥面EAC

∴B₁Q是三棱錐B₁-EAC的高。

由DQ=PQ，得B₁Q=

所以三棱錐B₁-EAC的體積是

（22）（本小題滿分12分）

右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出。

（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？

（一對(duì)軋輥減薄率=）

（Ⅱ）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm。若第k對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)間距為L(zhǎng)_k。為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L₁、L₂、L₃并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）

軋輥序號(hào)k

1

2

3

4

疵點(diǎn)間距L_k(單位:mm)

1600

解：（Ⅰ）厚度為的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為的n對(duì)軋輥后厚度為

，為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò)，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足

即對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)得

因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對(duì)軋輥。

（Ⅱ）解一：第k對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為

而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為

因?qū)挾认嗟�，且不考慮損耗，由體積相等得

即由此得

L₃=2000（mm）,L₂=2500(mm),L₁=3125(mm)

填表如下：

軋輥序號(hào)k

1

2

3

4

疵點(diǎn)間距L_k(單位:mm)

3125

2500

2000

1600

解二：第三對(duì)軋輥出口疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?/p>

所以，同理：

填表如下：

軋輥序號(hào)k

1

2

3

4

疵點(diǎn)間距L_k(單位:mm)

3125

2500

2000

1600

（23）（本小題滿分14分）

已知函數(shù)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線。當(dāng)時(shí)，該圖象是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義。

（Ⅰ）求x₁、x₂和x_n的表達(dá)式;

（Ⅱ）求的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域;

（Ⅲ）證明：的圖象與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。

解：（Ⅰ）依題意函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由

又由的圖象是斜率為的線段，

故由

記由函數(shù)圖象中第n段線段的斜率為故得

由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為

由，得

即

（Ⅱ）當(dāng)從（Ⅰ）可知y=x，即當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）可知

為求函數(shù)的定義域，須對(duì)進(jìn)行討論

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，也趨向于無(wú)窮大。

綜上，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/p>

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/p>

（Ⅲ）證一：首先證明當(dāng)，時(shí)，恒有成立。

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(i)             由（Ⅱ）知當(dāng)n=1時(shí)，在上，

所以成立。

（ii)假設(shè)n=k時(shí)在上，恒有成立。

可得

在上，

所以也成立。

由(i)與(ii)知對(duì)所有自然數(shù)n在上都有成立

即時(shí),恒有

其次,當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.

故的圖象與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。

證二：首先證明當(dāng)，時(shí)，恒有成立。

對(duì)任意的，存在，使，此時(shí)有

又

即有成立

其次，當(dāng),仿上述證明,可知當(dāng)時(shí),恒有成立.

故的圖象與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)。

（24）（本小題滿分14分）

如圖，給出定點(diǎn)A（0）（）和直線B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C。求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。

      y               

   B                      

             C            

        O       A     x  

解：依題意，記B（-1，），

則直線OA和OB的方程分別為

設(shè)點(diǎn)C（x,y）則有，

由OC平分∠BOA，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等。根據(jù)點(diǎn)到直線所距離公式得

         ①

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有

由得       ②

將②式代入①式得

整理得

若，則

若，則，∠BOA=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式

綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為

(i)當(dāng)時(shí)，軌跡方程化為    ③

此時(shí)，方程③表示拋物線弧段;

(ii)當(dāng)時(shí)，軌跡方程化為

                 ④

所以，當(dāng)時(shí)，方程④表示橢圓弧段;

當(dāng)時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段。

一九九九年（文科）

（1）如圖,I是全集，M、P、S是I的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是，則                               （ C ）

（A）（MP）S

（B）（MP）S

（C）（MP）

（D）（MP）

（2）已知映射其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對(duì)任意的，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是（ A ）

（A）4      （B）5      （C）6       （D）7

（3）函數(shù)的反函數(shù)是，則等于（A）      （B）    （C）       （D）    （ A ）

（4）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，則函數(shù)上 （ C ）

（A）是增函數(shù)            （B）是減函數(shù)

（C）可以取得最大值M     （D）可以取得最小值-M

（5）若是周期為的奇函數(shù)，則可以是    （ B ）

（A）   （B）     （C）    （D）

（6）曲線關(guān)于                 （ B ）

（A）直線軸對(duì)稱     （B）直線軸對(duì)稱

（C）點(diǎn)中心對(duì)稱     （D）點(diǎn)中心對(duì)稱

（7）若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm。若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是                          （ B ）

（A）cm   （B）6cm    （C）cm  （D）cm

（8）若

的值為                                    （ A ）

（A）1       （B）-1     （C）0       （D）2

（9）直線截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為

（A）       （B）     （C）      （D）     （ C ）

      E       F         

         D           C   

 A              B

（10）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=，EF與面AC的距離為2，則多面體的體積為

（A）  （B）5    （C）6   （D）   （ D ）

（11）若              （ B ）

（A）（，）（B）（，0）（C）（0，）（D）（，）

（12）如果圓臺(tái)的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面把圓臺(tái)分為上、下兩個(gè)圓臺(tái)，它們的側(cè)面積比為1:2，那么R= （ D ）

（A）10      （B）15       （C）20     （D）25

（13）已知兩點(diǎn)M（1，）、N（-4，-），給出下列曲線方程：

①  ②  ③  ④

其中與直線有交點(diǎn)的所有曲線是              （ D ）

（A）①③    （B）②④     （C）①②③  （D）②③④

（14）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤(pán)。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤(pán)至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有           （ C ）

（A）5種        （B）6種        （C）7種        （D）8種

（15）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F₁，右準(zhǔn)線為。若過(guò)F₁且垂直于x軸的弦長(zhǎng)等于點(diǎn)F₁到的距離，則橢圓的離心率是__________

答：

（16）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟。為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共用______種（用數(shù)字作答）

答：12

（17）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是_______

答：

（18）是兩個(gè)不同平面，是平面之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：

①   ②    ③    ④

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：__________

答：，，或，，

（19）（本小題滿分10分）

解方程

解：設(shè)，則原方程化為

解得

因?yàn)�，所以將舍去�?/p>

由得

所以

經(jīng)檢驗(yàn)，為原方程的解。

（20）（本小題滿分12分）

數(shù)列的前n項(xiàng)和記為。已知求的值。

解：由

又由已知

于是

所以由

所以，數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列。

由此知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列。

（21）（本小題滿分12分）

設(shè)復(fù)數(shù)求函數(shù)最大值以及對(duì)應(yīng)的值。

解:由

由得

故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),上式取等號(hào).

所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值

（22）（本小題滿分12分）

如圖,已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁,點(diǎn)E在棱D₁D上,截面EAC∥D₁B,且面EAC與底面ABCD所成的角為45⁰,AB=.

     D₁          C₁   

A₁           B₁       

     E                

           P          

         Q              

      D          C    

         O            

 A          B         

（Ⅰ）求截面EAC的面積;

（Ⅱ）求異面直線A₁B₁與AC之間的距離;

（Ⅲ）求三棱錐B₁-EAC的體積。

（Ⅰ）解：如圖，連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO�！叩酌鍭BCD是正方形，∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。

∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，

∴∠EOD=45⁰。DO=

故

（Ⅱ）解：由題設(shè)ABCD- A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，得A₁A⊥底面AC，

A₁A⊥AC。又A₁A⊥A₁B₁，

∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線。

∵D₁B∥面EAC，且面D₁BD與面EAC交線為EO，∴D₁B∥EO。

又O是DB的中點(diǎn)，∴E是D₁D的中點(diǎn)，D₁B=2EO=2。

∴D₁D=

異面直線A₁B₁與AC間的距離為

（Ⅲ）解：連結(jié)D₁B₁�！逥₁D=DB=，∴BDD₁B₁是正方形。

連結(jié)B₁D交D₁B于P，交EO與Q

∵B₁D⊥D₁B，EO∥D₁B，∴B₁D⊥EO。

又AC⊥EO，AC⊥ED�！郃C⊥面BDD₁B₁，∴B₁D⊥AC，∴B₁D⊥面EAC

∴B₁Q是三棱錐B₁-EAC的高。

由DQ=PQ，得B₁Q=

所以三棱錐B₁-EAC的體積是

（23）（本小題滿分14分）

右圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出。

（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為，輸出帶鋼的厚度為，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？

（一對(duì)軋輥減薄率=）

（Ⅱ）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm。若第k對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)間距為L(zhǎng)_k。為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L₁、L₂、L₃并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）

軋輥序號(hào)k

1

2

3

4

疵點(diǎn)間距L_k(單位:mm)

1600

解：（Ⅰ）厚度為的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為的n對(duì)軋輥后厚度為

，為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò)，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足

即對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)得

因此，至少需要安裝不小于的整數(shù)對(duì)軋輥。

（Ⅱ）解一：第k對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為

而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為

因?qū)挾认嗟�，且不考慮損耗，由體積相等得

即由此得

L₃=2000（mm）,L₂=2500(mm),L₁=3125(mm)

填表如下：

軋輥序號(hào)k

1

2

3

4

疵點(diǎn)間距L_k(單位:mm)

3125

2500

2000

1600

解二：第三對(duì)軋輥出口疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?/p>

所以，同理：

填表如下：

軋輥序號(hào)k

1

2

3

4

疵點(diǎn)間距L_k(單位:mm)

3125

2500

2000

1600

（24）（本小題滿分14分）

如圖，給出定點(diǎn)A（0）（）和直線B是直線上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C。求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與值的關(guān)系。

      y              

   B                      

             C            

        O       A     x  

解：依題意，記B（-1，），

則直線OA和OB的方程分別為

設(shè)點(diǎn)C（x,y）則有，

由OC平分∠BOA，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等。根據(jù)點(diǎn)到直線所距離公式得

         ①

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有

由得       ②

將②式代入①式得

整理得

若，則

若，則，∠BOA=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式

綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為

，軌跡方程化為

                 ③

由此知，當(dāng)時(shí)，方程③表示橢圓弧段;

當(dāng)時(shí)，方程③表示雙曲線一支的弧段。