第11單元　　電磁感應

　　[內容和方法]

　　本單元內容包括電磁感應現(xiàn)象、自感現(xiàn)象、感應電動勢、磁通量的變化率等基本概念，以及法拉第電磁感應定律、楞次定律、右手定則等規(guī)律。

　　本單元涉及到的基本方法，要求能夠從空間想象的角度理解法拉第電磁感應定律。用畫圖的方法將題目中所敘述的電磁感應現(xiàn)象表示出來。能夠將電磁感應現(xiàn)象的實際問題抽象成直流電路的問題；能夠用能量轉化和守恒的觀點分析解決電磁感應問題；會用圖象表示電磁感應的物理過程，也能夠識別電磁感應問題的圖像。

　　[例題分析]

　　在本單元知識應用的過程中，初學者常犯的錯誤主要表現(xiàn)在：概念理解不準確；空間想象出現(xiàn)錯誤；運用楞次定量和法拉第電磁感應定律時，操作步驟不規(guī)范；不會運用圖像法來研究處理，綜合運用電路知識時將等效電路圖畫錯。

　　例1在圖11－1中，CDEF為閉合線圈，AB為電阻絲。當滑動變阻器的滑動頭向下滑動時，線圈CDEF中的感應電流在G處產生的磁感強度的方向是“?”時，電源的哪一端是正極？

　　【錯解分析】錯解：當變阻器的滑動頭在最上端時，電阻絲AB因被短路而無電流通過。由此可知，滑動頭下移時，流過AB中的電流是增加的。當線圈CDEF中的電流在G處產生的磁感強度的方向是“?”時，由楞次定律可知AB中逐漸增加的電流在G處產生的磁感強度的方向是“×”，再由右手定則可知，AB中的電流方向是從A流向B，從而判定電源的上端為正極。

　　 楞次定律中“感生電流的磁場總是要阻礙引起感生電流的磁通量的變化”，所述的“磁通量”是指穿過線圈內部磁感線的條數(shù)，因此判斷感應電流方向的位置一般應該選在線圈的內部。

　　【正確解答】

　　當線圈CDEF中的感應電流在G處產生的磁感強度的方向是“?”時，它在線圈內部產生磁感強度方向應是“×”，AB中增強的電流在線圈內部產生的磁感強度方向是“?”，所以，AB中電流的方向是由B流向A，故電源的下端為正極。

　　【小結】

　　同學們往往認為力學中有確定研究對象的問題，忽略了電學中也有選擇研究對象的問題。學習中應該注意這些研究方法上的共同點。

　　例2長為a寬為b的矩形線圈，在磁感強度為B的勻強磁場中垂直于磁場的OO′軸以恒定的角速度ω旋轉，設t= 0時，線圈平面與磁場方向平行，則此時的磁通量和磁通量的變化率分別是 [ 　]

　　【錯解分析】t=0時，線圈平面與磁場平行、磁通量為零，對應的磁通量的變化率也為零，選A。

　　磁通量Φ=BS_⊥BS（S_⊥是線圈垂直磁場的面積），磁通量的變化ΔΦ=Φ₂－Φ₁，兩者的物理意義截然不同，不能理解為磁通量為零，磁通量的變化率也為零。

　　【正確解答】

　　實際上，線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場的軸轉動時，產生交變電動勢e=ε_mcosωt = Babωcosωt。當t=0時，cosωt=1，雖然磁通量可知當電動勢為最大值時，對應的磁通量的變化率也最大，即

　　【小結】

　　弄清概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，是正確解題的前提條件。在電磁感應中要弄清磁通量Φ、磁通量的變化ΔΦ以及磁通量的變化率ΔΦ/Δt之間的聯(lián)系和區(qū)別。

　　例3一個共有10匝的閉合矩形線圈，總電阻為10Ω、面積為0.04m²，置于水平面上。若線框內的磁感強度在0.02s內，由垂直紙面向里，從1.6T均勻減少到零，再反向均勻增加到2.4T。則在此時間內，線圈內導線中的感應電流大小為______A，從上向下俯視，線圈中電流的方向為______時針方向。

　　【錯解分析】錯解：由于磁感強度均勻變化，使得閉合線圈中產生感應電流，根據(jù)法拉第電磁感應定律，感應電動勢

　　根據(jù)楞次定律，開始時原磁場方向垂直紙面向里，而且是均勻減少的。那么感應電流產生的磁場的方向應該與原磁場方向相同，仍然向里。再根據(jù)安培定則判斷感應電流的方向為順時針方向。同理，既然原磁場均勻減少產生的感應電流的方向為順時針方向。那么，原磁場均勻增加時，產生的感應電流的方向必然是逆時針方向。

　　由于磁場的變化，而產生感應電動勢，根據(jù)法拉第電磁感應定律
矢量差。在0.02s內磁場的方向發(fā)生了一次反向。設垂直紙面向里為正方向，ΔB=B₂-（-B₁）=B₂+B_l

　　【正確解答】

　　根據(jù)法拉第電磁感應定律

　　根據(jù)楞次定律，磁感強度B從B₁開始均勻減少到零的過程中，感應電流的磁場阻礙原磁通的減少，與原磁通的方向同向，感應電流的方向是順時針的。接著磁感強度B從零開始反方向均均勻增加到B₂，這個過程中，穿過閉合線圈的磁通量反方向增加，感應電流的磁場要阻礙原磁場的增加，其方向是垂直紙面向里，再根據(jù)安培定則判斷感應電流的方向仍然是順時針的。

　　【小結】

　　應用楞次定律時，特別要注意感應電流的磁場阻礙的是引起感應電流的磁通量的變化。不能把“阻礙變化”簡單地理解為原磁場均勻減少，電流就是順時針，原磁場均勻增加，感應電流就是逆時針。應用楞次定律解題要先判斷原磁通的方向及其變化趨勢，再用“阻礙變化”的原則來判斷感應電流的磁場的方向，最后用右手定則來判斷感應電流的方向。

　　例4如圖11－2所示，以邊長為50cm的正方形導線框，放置在B=0.40T的勻強磁場中。已知磁場方向與水平方向成37°角，線框電阻為0.10Ω，求線框繞其一邊從水平方向轉至豎直方向的過程中通過導線橫截面積的電量。

　　【錯解分析】錯解：線框在水平位置時穿過線框的磁通量

Φ₁=BScos53°=6.0×10^-2Wb

　　線框轉至豎直位置時，穿過線框的磁通量Φ₂=BScos37°=8.0×10^-8（Wb）

　　這個過程中的平均電動勢

　　通過導線橫截面的電量

　　磁通量Φ₁=BScosθ，公式中θ是線圈所在平面的法線與磁感線方向的夾角。若θ＜90°時，Φ為正，θ＞90°時，Φ為負，所以磁通量Φ有正負之分，即在線框轉動至框平面與B方向平行時，電流方向有一個轉變過程。錯解就是忽略了磁通量的正負而導致錯誤。

　　【正確解答】

　　設線框在水平位置時法線（圖11－2中）n方向向上，穿過線框的磁通量

Φ₁=BScos53°=6.0×10^-2Wb

　　當線框轉至豎直位置時，線框平面的法線方向水平向右，與磁感線夾角θ=143°，穿過線框的磁通量Φ₁=BScos143°=-8.0×10^-2Wb

　　通過導線橫截面的電量

　　【小結】

　　通過畫圖判斷磁通量的正負，然后在計算磁通量的變化時考慮磁通量的正負才能避免出現(xiàn)錯誤。

　　例5如圖11－3所示，在跟勻強磁場垂直的平面內放置一個折成銳角的裸導線MON，∠MON=α。在它上面擱置另一根與ON垂直的導線PQ，PQ緊貼MO，ON并以平行于ON的速度V，從頂角O開始向右勻速滑動，設裸導線單位長度的電阻為R₀，磁感強度為B，求回路中的感應電流。

　　【錯解分析】錯解：設PQ從頂角O開始向右運動的時間為Δt，

　　Ob=v?Δt，

　　ab=v?Δ?tgα，

　　
　　不是我們要求的電動勢的瞬時值。因為電阻（1＋cosα＋sinα）

　　由于兩者不對應，結果就不可能正確。

　　【正確解答】

　　設PQ從頂角O開始向右運動的時間為Δt，Ob=v?Δt，ab＝v?Δ
　　

　　回路中ε=Blv=B?ab?v=Bv₂?Δt?tgα�；芈分懈袘�電流

　　時間增大，產生的感應電動勢不是恒量。避免出錯的辦法是先判斷感應電動勢的特征，根據(jù)具體情況決定用瞬時值的表達式求解。

　　例6 如圖11－4所示，豎直平面內有足夠長的金屬導軌，軌距0.2m，金屬導體ab可在導軌上無摩擦地上下滑動，ab的電阻為0.4Ω，導軌電阻不計，導軌ab的質量為0.2g，垂直紙面向里的勻強磁場的磁應強度為0.2T，且磁場區(qū)域足夠大，當ab導體自由下落0.4s時，突然接通電鍵K，則：（1）試說出K接通后，ab導體的運動情況。（2）ab導體勻速下落的速度是多少？（g取10m/s²）

　　【錯解分析】錯解：

　�。�1）K閉合后，ab受到豎直向下的重力和豎直向上的安培力作用。合力豎直向下，ab仍處于豎直向下的加速運動狀態(tài)。隨著向下速度的增大，安培力增大，ab受豎直向下的合力減小，直至減為0時，ab處于勻速豎直下落狀態(tài)。

　�。�2）略。

　　上述對（l）的解法是受平常做題時總有安培力小于重力的影響，沒有對初速度和加速度之間的關系做認真的分析。不善于采用定量計算的方法分析問題。

　　【正確解答】

　�。�1）閉合K之前導體自由下落的末速度為v₀=gt=4（m/s）

　　K閉合瞬間，導體產生感應電動勢，回路中產生感應電流。ab立即受到一個豎直向上的安培力。

　　此刻導體棒所受到合力的方向豎直向上，與初速度方向相反，加速

　　所以，ab做豎直向下的加速度逐漸減小的變減速運動。當速度減小至F_安=mg時，ab做豎直向下的勻速運動。

　　【小結】

　　本題的最大的特點是電磁學知識與力學知識相結合。這類的綜合題本質上是一道力學題，只不過在受力上多了一個感應電流受到的安培力。分析問題的基本思路還是力學解題的那些規(guī)矩。在運用牛頓第二定律與運動學結合解題時，分析加速度與初速度的關系是解題的最關鍵的第一步。因為加速度與初速度的關系決定了物體的運動。

　　例7 如圖11－5所示，水平導軌的電阻忽略不計，金屬棒ab和cd的電阻多別為R_ab和R_cd，且R_ab＞R_cd，處于勻強磁場中。金屬棒cd在力F的作用下向右勻速運動。ab在外力作用下處于靜止狀態(tài)，下面說法正確的是 [　]

　　A．U_ab＞U_cd

　　B．U_ab=U_cd

　　C．U_ab＜U_cd

　　D． 無法判斷

　　【錯解分析】錯解：因導軌的電阻不計，金屬棒ah和cd可以等效為兩個電阻串聯(lián)，而串聯(lián)電路中，電壓的分配跟電阻成正比。因為R_ab＞R_ed，所以U_ab＞U_cd，故選A。

　　cd金屬棒在F的作用下，做切割磁感線運動，應視為電源。U_cd為電源的端電壓，而不是內電壓。所以U_cd≠IR_cd，U_cd=ε-IR_cd，不能將abcd等效為兩個外電阻的串聯(lián)。

　　【正確解答】

　　金屬棒在力F的作用下向右作切割磁感線的運動應視為電源，而c、d分別等效為這個電源的正、負極，U_cd是電源兩極的路端電壓，不是內電壓。又因為導軌的電阻忽略不計，因此金屬棒ab兩端的電壓U_ab也等于路端電壓，即U_cd=U_ab，所以正確的答案應選B。

　　【小結】

　　電源是將非靜電能轉換成電能的裝置。本題中是通過電磁感應將機械能轉化成為電能。cd的作用是電源。ab則是外電路中的電阻。畫出等效電路圖，如圖11-6所示。然后再運用恒定電流的知識進行計算。電磁感應的問題中經常用到這樣的化簡為直流電路的等效方法。

　　例8 如圖11－7所示裝置，導體棒AB，CD在相等的外力作用下，沿著光滑的軌道各朝相反方向以0.lm/s的速度勻速運動。勻強磁場垂直紙面向里，磁感強度B=4T，導體棒有效長度都是L=0.5m，電阻R=0.5Ω，導軌上接有一只R′=1Ω的電阻和平行板電容器，它的兩板間距相距1cm，試求：（l）電容器及板間的電場強度的大小和方向；（2）外力F的大小。

　　【錯解分析】

　　錯解一：

　　導體棒CD在外力作用下，會做切割磁感線運動，產生感應電動勢。對導體棒AB在力F的作用下將向右做切割磁感線運動，根據(jù)右手定則可以判斷出感應電動勢方向向上，同理可分析出導體棒CD產生的感生U_ab=0，所以電容器兩極板ab上無電壓，極板間電場強度為零。

　　錯解二：

　　求出電容器的電壓是求電容器板間的電場強度大小的關鍵。由圖11－7看出電容器的b板，接在CD的C端導體CD在切割磁感線產生感應電動勢，C端相當于電源的正極，電容器的a接在AB的A端。導體棒AB在切割磁感線產生感應電動勢，A端相當于電源的負極。導體棒AB，CD產生的電動勢大小又相同，故有電容器的電壓等于一根導體棒產生的感應電動勢大小。

U_C＝BLv＝4×0.5×0.l=0.2（V）

　　根據(jù)勻強電場場強與電勢差的關系

　　由于b端為正極，a端為負極，所以電場強度的方向為b→a。

　　錯解一：根據(jù)右手定則，導體棒AB產生的感應電動勢方向向下，導體棒CD產生的感應電動勢方向向上。這個分析是對的，但是它們對整個導體回路來說作用是相同的，都使回路產生順時針的電流，其作用是兩個電動勢和內阻都相同的電池串聯(lián)，所以電路中總電動勢不能相減，而是應該相加，等效電路圖如圖11－8所示。

　　錯解二：雖然電容器a板與導體AB的A端是等勢點，電容器b板與導體CD的C端是等電勢點。但是a板與b板的電勢差不等于一根導體棒切割磁感線產生的電動勢。a板與b板的電勢差應為R′兩端的電壓。

　　【正確解答】

　　導體AB、CD在外力的作用下做切割磁感線運動，使回路中產生感應電流。

　　電容器兩端電壓等于R′兩端電壓U_C==I=0.2×1=0.2（V）

　　回路電流流向D→C→R′→A→B→D。所以，電容器b極電勢高于a極電勢，故電場強度方向b→a。

　　【小結】

　　從得數(shù)上看，兩種計算的結果相同，但是錯解二的思路是錯誤的，錯在電路分析上。避免錯誤的方法是在解題之前，畫出該物理過程的等效電路圖，然后用電磁感應求感應電動勢，用恒定電流知識求電流、電壓和電場知識求場強，最終解決問題。

　　例9 如圖11－9所示，一個U形導體框架，其寬度L=1m，框架所在平面與水平面的夾用α=30°。其電阻可忽略不計。設勻強磁場與U形框架的平面垂直。勻強磁場的磁感強度B＝0.2T。今有一條形導體ab，其質量為m＝0.5kg，有效電阻R=0.1Ω，跨接在U形框架上，并且能無摩擦地滑動，求:

　�。�1）由靜止釋放導體，導體ab下滑的最大速度v_m；

　�。�2）在最大速度v_m時，在ab上釋放的電功率。（g=10m/s²）。

　　【錯解分析】

　　錯解一：

　�。�1）ab導體下滑過程中受到重力G和框架的支持力N，如圖11－10。

　　根據(jù)牛頓第二定律ΣF=ma

mgsinα= ma

a = gsinα

　　導體的初速度為V₀=0，導體做勻加速直線運動，由運動學公式

v＝v₀＋at=5t

　　隨著t的增大，導體的速度v增大v_m→∞

　　由ε=BLv可知

當v_m→∞，電功率P→∞

　　錯解二：

　　當導體所受合力為零時，導體速度達到最大值。

　　（1）導體ab受G和框架的支持力N，而做加速運動

　　由牛頓第二定律

mgsin30°= ma

a = gsin30°

　　但是導體從靜止開始運動后，就會產生感應電動勢，回路中就會有感應電流，感應電流使得導體受到磁場的安培力的作用。設安培力為F_A。

　　隨著速度v的增加，加速度a逐漸減小。當a＝0時，速度v有最大值

　　分析導體ab下滑過程中物理量變化的因果關系是求ab導體下滑最大速度的關鍵。

　　錯解一：正是由于對電磁現(xiàn)象規(guī)律和力與運動的關系理解不夠，錯誤地分析出ab導體在下滑過程中做勻加速運動。實際上，導體ab只要有速度，就會產生感應電動勢，感應電流在磁場中受到安培力的作用。安培力隨速度的增加而增大，且安培力的方向與速度方向相反，導體做加速度逐漸減小的變加速直線運動。

　　錯解二：的分析過程是正確的，但是把導體下滑時產生的電動勢寫錯了公式，ε=BLvsin30°中30°是錯誤的。ε=BLvsinθ中的θ角應為磁感強度B與速度v的夾角。本題中θ=90°。

　　【正確解答】

　�。�1）導體ab受G和框架的支持力N，而做加速運動由牛頓第二定律

mgsin30°= ma

a = gsin30°= 5（m/s²）

　　但是導體從靜止開始運動后，就會產生感應電動勢，回路中就會有感應電流，感應電流使得導體受到磁場的安培力的作用。設安培力為F_A

　　隨著速度v的增加，加速度a逐漸減小。當a=0時，速度v有最大值

　�。�2）在導體ab的速度達到最大值時，電阻上釋放的電功率

　　【小結】 ：物理解題訓練同學們的思維能力。本題要求同學從多角度來看問題。從加速度產生的角度看問題。由于導體運動切割磁感線發(fā)生電磁感應產生感應電流，感應電流的受力使得導體所受的合力發(fā)生改變，進而使導體的加速度發(fā)生變化，直到加速度為零。從能量轉化和守恒的角度看：當重力做功使導體的動能增加的同時，導體又要切割磁感線發(fā)生電磁感應將動能轉化為內能。直至重力做功全部轉化為回路的內能。

　　例10用均勻導線彎成正方形閉合金屬線框abcd，線框每邊長80cm，每邊的電阻為0.01Ω。把線框放在磁感強度B=0.05T的勻強磁場中，并使它繞軸OO′以ω=100rad/s的角速度勻角速度旋轉，旋轉方向如圖

　�。�1）每條邊產生的感應動勢大��；

　�。�2）線框內感應電流的大��；

　　（3）e，f分別是ab和cd的中點，ef兩點間的電勢差。

　　【錯解分析】錯解：線圈在轉動時，只有ab邊和cd邊作切割磁感線運動，產生感應電動勢。

　�。�2）由右手定則可知，線框在圖示位置時，ab中感應電動勢方向向上，而cd中感應電勢的方向向下。

　�。�3）觀察fcbe電路

　　本題解共有4處錯誤。第一，由于審題不清沒有將每一條邊的感應電動勢求出，即缺少ε_ad和ε_bc。即使它們?yōu)榱�，也應表達出來。第二，邊長中兩部分的的倍數(shù)關系與每一部分占總長的幾分之幾表述不正確。第三，ab邊和cd邊的感應電動勢的方向分別向上、向下。但是它們的關系是電源的串聯(lián)，都使電路中產生順時針方向的電流，閉合回路的總電動勢應為：ε_cd+ε_ab，而不是相減。第四，求U_ef時，研究電路fcbe，應用閉合電路歐姆定律，內電路中產生電動勢的邊長只剩下一半，感應電動勢也只能是ε_cd/2。

　　【正確解答】

　�。�1）線框轉動時，ab邊和cd邊沒有切割磁感線，所以ε_ad=0,ε_bc=0。

　�。�3）觀察fcbe電路

　　【小結】

　　沒有規(guī)矩不能成方圓。解決電磁感應的問題其基本解題步驟是：（1）通過多角度的視圖，把磁場的空間分布弄清楚。（2）在求感應電動勢時，弄清是求平均電動勢還是瞬時電動勢，選擇合適的公式解題。（3）進行電路計算時要畫出等效電路圖作電路分析，然后求解。

　　例11共有100匝的矩形線圈，在磁感強度為0.1T的勻強磁場中以角速度ω=10rad/s繞線圈的中心軸旋轉。已知線圈的長邊a=20cm，短邊b=10cm，線圈總電阻為2Ω。求（1）線圈平面轉到什么位置時，線圈受到的電磁力矩最大？最大力矩有多大？（2）線圈平面轉到與磁場方向夾角60°時，線圈受到的電磁力矩。

　　【錯解分析】錯解：

　�。╨） 當線圈平面與磁場方向平行時電磁力矩最大。如圖ll－12所示。

　　磁場對線圈一條邊的作用力

F=BIb=0.01N

　　線圈受到的電磁力矩

　�。�2） 若θ=60°時，如圖11-13

ε′=NBabωsin60°=1.73V

　　磁場對線圈一條邊的作用力

F′=BI′b=0.00866N

　　此時線圈受到的電磁力矩

　　第一問解法是正確的。但第二問出了兩點錯：公式ε=Blvsinθ中的θ應該是B與v的夾角。錯解中把線圈平面與磁場的夾角當作θ。另一

　　【正確解答】

　　磁場對線圈一邊的作用力

F′=BI′b=0.005N

　　此時的力矩

　　【小結】

　　依據(jù)題意準確地作出線圈在磁場中的速度方向和受力方向是解題的前提。這就是說，邏輯思維是要借助形象來幫忙。

　　例12 如圖11－14所示，一閉合金屬圓環(huán)用絕緣細線掛于O點，將圓環(huán)拉離平衡位置并釋放，圓環(huán)擺動過程中經過有界的水平勻強磁場區(qū)域，A，B為該磁場的豎直邊界，若不計空氣阻力，則 [ ]

　　A．圓環(huán)向右穿過磁場后，還能擺至原來的高度。

　　B．在進入和離開磁場時，圓環(huán)中均有感應電流

　　C．圓環(huán)進入磁場后離平衡位置越近速度越大，感應電流也越大

　　D．圓環(huán)最終將靜止在平衡位置。

　　【錯解分析】錯解：如圖11－14所示，當圓環(huán)從1位置開始下落，進入磁場和擺出磁場時（即2位置和3位置），由于有磁通量變化，圓環(huán)上產生感應電流，選項B正確。由于金屬圓環(huán)自身存在內阻，所以必然有熱量產生（既有能量損失）。因此，圓環(huán)不會再擺到4位置。選項A錯。當圓環(huán)進入磁場后，穿過環(huán)內的磁通量不再發(fā)生變化，無感應電流產生。選項C錯誤。由于每次通過磁場都有能量損失，所以圓環(huán)最終將靜止在平衡位置，D選項正確。

　　物體有慣性，人的思維也有慣性。這個同學對ABC選項的判斷是正確的。只有D選項選錯了。在圓環(huán)穿過磁場時，要發(fā)生電磁感應現(xiàn)象造成機械能轉化為電能，電能再進一步轉化為內能。但是，這位同學忘記分析當圓環(huán)僅在勻強磁場內擺動時，穿過圓環(huán)內的磁通量還變化嗎？導致了選擇錯誤。

　　【正確解答】

　　如圖11－14所示，當圓環(huán)從1位置開始下落，進入磁場時（即2和3位置），由于圓環(huán)內磁通量發(fā)生變化，所以有感應電流產生。同時，金屬圓環(huán)本身有內阻，必然有能量的轉化，即有能量的損失。因此圓環(huán)不會擺到4位置。隨著圓環(huán)進出磁場，其能量逐漸減少圓環(huán)擺動的振幅越來越小。當圓環(huán)只在勻強磁場中擺動時，如圖11－15所示。圓環(huán)內無磁通量的變化，無感應電流產生，無機械能向電能的轉化。題意中不存在空氣阻力，擺線的拉力垂直于圓環(huán)的速度方向，拉力對圓環(huán)不做功，所以系統(tǒng)的能量守恒，所以圓環(huán)將在AB間來回擺動。

　　【小結】

　　電磁感應現(xiàn)象產生的條件是穿過線圈所包圍的平面內的磁通量發(fā)生
只有回路中有ΔΦ≠0，即當面積S一定時，ΔB≠0，才會有感應電動勢，才有感應電流的存在�？梢姡�在分析物理問題時，要嚴格按照物理規(guī)律成立的條件辦事。

　　例13如圖11-16所示，直角三角形導線框ABC，處于磁感強度為B的勻強磁場中，線框在紙面上繞B點以勻角速度ω作順時針方向轉動，∠B =60°，∠C=90°，AB=l，求A，C兩端的電勢差U_AC。

　　【錯解分析】錯解：把AC投影到AB上，有效長度AC′，根據(jù)幾何關系（如圖11－17），

　　此解錯誤的原因是：忽略BC，在垂直于AB方向上的投影BC′也切割磁感線產生了電動勢，如圖11-17所示。

　　【正確解答】

　　該題等效電路ABC，如圖11－5所示，根據(jù)法拉第電磁感應定律，穿過回路ABC的磁通量沒有發(fā)生變化，所以整個回路的

ε_總=0 ①

　　設AB，BC，AC導體產生的電動勢分別為ε₁、ε₂、ε₃，電路等效于圖11-5，故有

ε_總=ε₁+ε₂+ε₃ ②

　　【小結】

　　注意雖然回路中的電流為零，但是AB兩端有電勢差。它相當于兩根金屬棒并聯(lián)起來，做切割磁感線運動產生感應電動勢而無感應電流。

　　例14 如圖11－19所示，長為6m的導體AB在磁感強度B=0.1T的勻強磁場中，以AB上的一點O為軸，沿著順時針方向旋轉。角速度ω=5rad/s，O點距A端為2m，求AB的電勢差。

　　【錯解分析】錯解：根據(jù)法拉第電磁感應定律

ε=BLv

v=ωL

ε=BL²ω

　　斷路時導體端電壓等于電動勢

　　法拉第電磁感應定律的導出公式ε=BLv是有條件的。它適用于導體平動且速度方向垂直于磁感線方向的特殊情況。不符合本題的轉動情況，本題用錯了公式。另外判斷感應電動勢方向上也出現(xiàn)了問題。

　　【正確解答】

　　由于法拉第電磁感應定律ε=BLv適用于導體平動且速度方向垂直于磁感線方向的特殊情況。將轉動問題轉化為平動作等效處理。因為v =ωL，可以用導體中點的速度的平動產生的電動勢等效于OB轉動切割磁感線產生的感應電動勢。

U_BO=U_B-U_O=ε_BO=4(V)

U_AO=U_A-U_O=ε_AO=1(V)

U_AB=U_A-U_B=(U_A-U_O)-(U_B-U_O)

=U_AO-U_BO=1-4=-3(V)

　　【小結】

　　本題中的等效是指產生的感應電動勢相同。其基礎是線速度與角速度和半徑成正比。

　　例15 如圖11－20所示，在磁感強度B= 2T的勻強磁場中，有一個半徑r=0.5m的金屬圓環(huán)。圓環(huán)所在的平面與磁感線垂直。OA是一個金屬棒，它沿著順時針方向以20rad/s的角速度繞圓心O勻速轉動。A端始終與圓環(huán)相接觸OA棒的電阻R=0.1Ω，圖中定值電阻R₁=100Ω，R₂=4.9Ω，電容器的電容C=100pF。圓環(huán)和連接導線的電阻忽略不計，求：

　�。�1）電容器的帶電量。哪個極板帶正電。

　�。�2）電路中消耗的電功率是多少？

　　【錯解分析】錯解：

　�。�1）由于電容器兩板間分別接在做切割磁感線導體棒的兩端，電容器兩端的電壓就等于導體OA上產生的感應電動勢。

　　根據(jù)右手定則，感應電流的方向由O→A，故電容器下板由于與O相接為正，上極板與A相接為負。

　�。�2）根據(jù)閉合電路歐姆定律

　　電路中消耗的電功率P_消=I²R=4.9(W)

　　錯解的原因是：

　�。�1）電容器兩板雖然與切割磁感線的導體相連，但兩板間并不等于導體棒OA產生的感應電動勢。因為導體棒有電阻。所以電容器的電壓應等于整個回路的端電壓。

　　（2）電路中消耗的功率由于導體棒有電阻，即相當于電源有內阻，所以電路中消耗的功率不僅在外電阻R₂上，而且還消耗在內阻R上。P_消=I²(R+R₂)或根據(jù)能量守恒P_源=Iε。

　　【正確解答】

　　（l）畫出等效電路圖，圖11－21所示。導體棒OA產生感應電動勢

　　根據(jù)右手定則，感應電流的方向由O→A，但導體棒切割磁感線相當于電源，在電源內部電流從電勢低處流向電勢高處。故A點電勢高于O點電勢。又由于電容器上板與A點相接即為正極，同理電容器下板由于與O相接為負極。

　�。�2）電路中消耗的電功率P_消=I²(R+R₂)=5(W)，或P_消=Iε=5(W)

　　例16 如圖11－22所示，A，B是兩個完全相同的燈泡，L是自感系數(shù)較大的線圈，其直流電阻忽略不計。當電鍵K閉合時，下列說法正確的是 [　]

　　A．A比B先亮，然后A熄滅

　　B．B比A先亮，然后B逐漸變暗，A逐漸變亮

　　C．AB一齊亮，然后A熄滅

　　D．A、B一齊亮．然后A逐漸變亮．B的亮度不變

　　【錯解分析】錯解：當電鍵閉合時．A燈與線圈L串聯(lián)，B燈與R串聯(lián)后分別并聯(lián)于電源兩端。雖然K閉合瞬間線圈會產生自感，即阻礙通過線圈支路電流的的增加。但A燈與L串聯(lián)后并聯(lián)接在電源上。電源兩端有電壓，就會有電流，所以AB都應該同時亮起來。只是閉合K的瞬間A燈不能達到應有的電流而亮度發(fā)暗。K閉合一段時間后兩燈達到同樣的亮度。所以A燈逐漸變亮，B燈亮度不發(fā)生變化，選D。

　　選擇D選項時對自感現(xiàn)象理解不夠。在K閉合的瞬間，通過每盞燈的電流到底怎樣變化不清楚。

　　【正確解答】

　　電鍵閉合的瞬間，線圈由于自感產生自感電動勢，其作用相當于一個電源。這樣對整個回路而言相當于兩個電源共同作用在同一個回路中。兩個電源各自獨立產生電流，實際上等于兩個電流的疊加。根據(jù)上述原理可在電路中標出兩個電源各自獨立產生的電流的方向。

　　圖11-23a、b是兩電源獨立產生電流的流向圖，C圖是合并在一起的電流流向圖。由圖可知、在A燈處原電流與感應電流反向，故A燈不能立刻亮起來。在B燈處原電流與感應電流同向，實際電流為兩者之和，大于原電流。故B燈比正常發(fā)光亮（因正常發(fā)光時電流就是原電流）。隨著自感的減弱，感應電流減弱，A燈的實際電流增大，B燈實際電流減少，A變亮，B燈變暗，直到自感現(xiàn)象消失，兩燈以原電流正常發(fā)光。應選B。

　　例17 在如圖11－24所示的水平導軌上（摩擦、電阻忽略不計），有豎直向下的勻強磁場，磁感強度B，導軌左端的間距為L₁=4L₀，右端間距為L₂=L₀。今在導軌上放置AC，DE兩根導體棒，質量分別為m₁=2m₀，m₂=m₀，電阻R₁=4R₀，R₂=R₀。若AC棒以初速度V₀向右運動，求AC棒運動的過程中產生的總焦耳熱Q_AC，以及通過它們的總電量q。

　　【錯解分析】錯解：AC棒在磁場力的作用下，做變速運動。運動過程復雜，應從功能關系的角度來分析。由于沒有摩擦，最后穩(wěn)定的狀態(tài)應為兩棒做勻速運動。根據(jù)動量守恒定律m₁v₀=（m₁＋m₂）v′

　　整個回路產生的焦耳熱

　　因為R₁=4R₀，R₂=R₀。所以AC棒在運動過程中產生的焦耳熱

　　對AC棒應用動量定理：BIL₁?△t=m₁v′－m₁v₀

　　AC棒在磁場力的作用下做變速運動，最后達到運動穩(wěn)定，兩棒都做勻速運動的分析是正確的。但是以此類推認為兩棒的運動速度相同是錯誤的。如果兩棒的速度相同則回路中還有磁通量的變化，還會存在感應電動勢，感應電流還會受到安培力的作用，AC，DE不可能做勻速運動。

　　【正確解答】

　　由于棒L₁向右運動，回路中產生電流，L_l受安培力的作用后減速，L₂受安培力加速使回路中的電流逐漸減小。只需v₁，v₂滿足一定關系，

　　兩棒做勻速運動。

　　兩棒勻速運動時，I=0，即回路的總電動勢為零。所以有

BL_lv₁=BL₂v₂

　　再對DE棒應用動量定理BL₂I?△t = m₂v₂

　　【小結】

　　以前我們做過類似的題。那道題中的平行軌道間距都是一樣的。有一些同學不假思索，把那道題的結論照搬到本題中來，犯了生搬硬套的錯誤。差異就是矛盾。兩道題的差別就在平行導軌的寬度不一樣上。如何分析它們之間的差別呢？還是要從基本原理出發(fā)。平行軌道間距一樣的情況兩根導體棒的速度相等，才能使回路中的磁通量的變化為零。本題中如果兩根導軌的速度一樣，由于平行導軌的寬度不同導致磁通量的變化不為零，仍然會有感應電流產生，兩根導體棒還會受到安培力的作用，其中的一根繼續(xù)減速，另一根繼續(xù)加速，直到回路中的磁通量的變化為零，才使得兩根導體棒做勻速運動。抓住了兩道題的差異之所在，問題就會迎刃而解。

　　例18 如圖 11－25所示光滑平行金屬軌道abcd，軌道的水平部分bcd處于豎直向上的勻強磁場中，bc部分平行導軌寬度是cd部分的2倍，軌道足夠長。將質量相同的金屬棒P和Q分別置于軌道的ab段和cd段。P棒位于距水平軌道高為h的地方，放開P棒，使其自由下滑，求P棒和Q棒的最終速度。

　　【錯解分析】錯解：

　　設P，Q棒的質量為m，長度分別為2L和L，磁感強度為B，P棒進入水平軌道的速度為v₀，對于P棒，運用機械能守恒定律得

　　當P棒進入水平軌道后，切割磁感線產生感應電流。P棒受到安培力作用而減速，Q棒受到安培力而加速，Q棒運動后也將產生感應電動勢，與P棒感應電動勢反向，因此回路中的電流將減小。最終達到勻速運動時，回路的電流為零，所以

ε_p=ε_Q

即2BLv_p=BLv_Q

2v_p=v_Q

　　對于P，Q棒，運用動量守恒定律得到

mv₀=mv_p+mv_Q

　　錯解中對P，Q的運動過程分析是正確的，但在最后求速度時運用動量守恒定律出現(xiàn)錯誤。因為當P，Q在水平軌道上運動時，它們所受到的合力并不為零。F_p=2BIL，F(xiàn)_Q=BIL（設I為回路中的電流），因此P，Q組成的系統(tǒng)動量不守恒。

　　【正確解答】

　　設P棒從進入水平軌道開始到速度穩(wěn)定所用的時間為△t，P，Q
對PQ分別應用動量定理得

　　【小結】

　　運用動量守恒定律和機械能守恒定律之前，要判斷題目所給的過程是否滿足守恒的條件。動量守恒的條件是：系統(tǒng)所受的合外力為零，或者是在某一方向上所受的合外力為零，則系統(tǒng)在該方向上動量的分量守恒。