1．橢圓的定義是什么？

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F₁、F₂的距離的和等于常數(shù)(大于|F₁F₂|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F₁、F₂的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F₁F₂|．

2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

3．雙曲線的定義是什么？

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F₁、F₂的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F₁F₂|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．

思考：1．若常數(shù)要等于|F₁F₂|，則圖形是什么？

      2．若常數(shù)要大于|F₁F₂|，能畫(huà)出圖形嗎？

3．定點(diǎn)F₁、F₂與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？（強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”）

4．|MF₁|與|MF₂|哪個(gè)大？（當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|＞|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|＜|MF2|）

 (二)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方程（建――設(shè)――顯――代――化）

提問(wèn)：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標(biāo)系的？類(lèi)比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法由學(xué)生來(lái)建立直角坐標(biāo)系．

 (1)建系設(shè)點(diǎn)，以F₁F₂ 所在直線為x軸，F(xiàn)₁F₂的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x，y）為雙曲線任一點(diǎn)，| F₁F₂ |=2c（c＞0）

(2)定集合：P=｛M||MF₁|－|MF₂|=±2a｝(2a＜2c）

(3)寫(xiě)方程并化簡(jiǎn)：－=±2a.=±2a＋ cx-a²=±a(c²－a²)x²+a²y²=a²(c²－a²)

∵2a＜2ca＞c＞0，∴可令c²－a²=b²(如圖)代入有： －=1（a＞0，b＞0）

 類(lèi)比：寫(xiě)出焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

類(lèi)比：橢圓的方程可以寫(xiě)成mx²+ny²=1(m,n為正數(shù)，m≠n),雙曲線方程可以寫(xiě)成什么形式？（mx²+ny²=1，mn<0）

練習(xí)：教材練習(xí)1，2（重在說(shuō)明待定系數(shù)法求雙曲線方程的步驟）

（三）例題講解

例1 、方程8kx²-ky²=8

(1)若它表示一雙曲線方程，求k的范圍；(2)表示橢圓方程，求k的范圍；(3)與橢圓=1有公共焦點(diǎn)的橢圓，求k的值；

解：(1)k²>0,k≠0；    (2)k<0;     (3)k=1

例2、已知，兩地相距，一炮彈在某處爆炸，在處聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間比在處遲2s，設(shè)聲速為．

 （1）爆炸點(diǎn)在什么曲線上？

 （2）求這條曲線的方程。

分析：首先要判斷軌跡的形狀，由聲學(xué)原理：由聲速及，兩地聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，即可知，兩地與爆炸點(diǎn)的距離差為定值．由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．

（解答： ）

思考：有幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)可以確定爆炸點(diǎn)的位置？（至少三個(gè)）

作業(yè)：教材P37----習(xí)題2.3(1)

[補(bǔ)充習(xí)題] 討論方程(k-1)x²+(2-k)y²=-k²+3k-2表示的曲線

解：k-1=0即k=1時(shí)，方程為y=0表示x軸；

2-k=0即k=2時(shí)，方程為x=0表示y軸

當(dāng)k≠1且k≠2時(shí)，方程為+=1

   當(dāng)2-k>k-1>0即1<k<時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

當(dāng)2-k=k-1>0即k=時(shí)，方程為x²+y²=,表示圓

當(dāng)0<2-k<k-1即<k<2時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

當(dāng)2-k<0<k-1即k>2時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

當(dāng)k-1<0<2-k即k<1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

[教后感想與作業(yè)情況]

§2．3．2　雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）――性質(zhì)

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用。

[教學(xué)難點(diǎn)]雙曲線的漸近線。

[教學(xué)過(guò)程] (一)復(fù)習(xí)提問(wèn)引入新課：1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？2．雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？        下面我們類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)．

(二)類(lèi)比聯(lián)想得出性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn))   引導(dǎo)學(xué)生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格

思考：1、從雙曲線的圖形上，還能看出什么范圍？

（由雙曲線方程－=1（a＞0，b＞0）得到－＞0，（-）(+)>0,這樣或，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/e20c13800fe0f1001f5fa08dd65452dd.zip/60497/2.3雙曲線.files/image056.jpg" >）

思考2：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的方程如何用式子表示？（一般的曲線C:f(x,y)=0也成立,即：對(duì)任意x,y，f(-x,y)=0則曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；f(x,-y)=0則曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);f(-x,-y)=0則曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，用之常檢驗(yàn)曲線的對(duì)稱(chēng)性）

    (三)漸近線：雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區(qū)域內(nèi)，那么從x,y的變化趨勢(shì)看，雙曲線與直線具有怎樣的關(guān)系呢？

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可以先研究雙曲線在第一象限的部分與直線的關(guān)系。雙曲線在第一象限的部分可寫(xiě)成：

設(shè)M(x,y)是其上面的點(diǎn)，N(x,y_N)是直線y=上與M相同的橫坐標(biāo)的點(diǎn)MN=y_N-y=-=；當(dāng)x逐漸增大時(shí)，MN逐漸減小，x無(wú)限增大，MN接近于零，就是說(shuō)，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．在其他象限內(nèi)也可以證明類(lèi)似的情況．

這樣，我們將稱(chēng)雙曲線的漸近線。由漸進(jìn)線可以大致作出雙曲線的圖形。特別的，當(dāng)a=b時(shí)的雙曲線稱(chēng)等軸雙曲線。

思考：等軸雙曲線的漸近線是什么？（y=±x）

 (四)離心率:與橢圓類(lèi)似，將雙曲線焦距與實(shí)軸的比值稱(chēng)此雙曲線的離心率，e=

  思考：橢圓的離心率反應(yīng)橢圓的扁圓程度，雙曲線離心率反應(yīng)什么呢？（由于==，這樣e越大，就越大雙曲線的開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率反應(yīng)了雙曲線的開(kāi)闊程度）

思考：雙曲線=1（a>0,b>0）有哪些基本性質(zhì)？

課堂練習(xí)：教材P41----練習(xí)題

 [小結(jié)]雙曲線的基本性質(zhì)，與橢圓不同的是加了漸近線

[作業(yè)]教材P41---習(xí)題2.3(2)1，2，3，4，8

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、經(jīng)過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)，作平行于實(shí)軸的直線，與漸近線交于兩點(diǎn)，則___________；作平行于虛軸的直線，與漸近線交于兩點(diǎn)，則到的距離之積為定值， 。

2、求證：由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)向一漸近線作垂線，垂線段長(zhǎng)為定值，等于，并求垂足的橫坐標(biāo)。

[答案]

1、a²,b²

2、證明：如圖2，設(shè)焦點(diǎn)，漸近線，即，

由點(diǎn)到直線的距離公式得：；

又過(guò)點(diǎn)且與漸近線垂直

的直線方程為:，

兩方程聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然該點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

教后感想與作業(yè)情況

                        2.3.2雙曲線性質(zhì)（2）――離心率和漸近線

[教學(xué)目的]

[教學(xué)難點(diǎn)、重點(diǎn)]漸近線與雙曲線方程間關(guān)系

[教學(xué)過(guò)程]

   例1、(1)求等軸雙曲線的離心率；（2）一條雙曲線漸近線方程為y=±x，求其離心率；(3)若雙曲線兩條漸近線的夾角為60⁰，求其離心率

   解：(1)e=

(2)雙曲線方程為時(shí)，=，e=;方程為時(shí)，=，e=;總之，離心率為或

說(shuō)明：由漸近線可以確定雙曲線的離心率，如圖，可以看出e==

(3)夾角為60⁰,雙曲線可能在夾角范圍內(nèi)，也有在其補(bǔ)角范圍內(nèi)，即漸近線與軸的夾角為30⁰或60⁰；e==或e==2

變形練習(xí)1：“雙曲線離心率為”是“雙曲線為等軸雙曲線”的__________條件（充要）

變形練習(xí)2：若雙曲線兩條漸近線的夾角為α，求其離心率（或）

例2、P為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，(1)求PF的最值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若集合A={(x,y)| ,a、b>0},集合B={(x,y)|(x-c)²+y²=r²,其中c=，r>0},求A∩B元素的個(gè)數(shù)

解：(1)設(shè)P(x,y),PF²=(x-c)²+y²=x²-2cx+c²+(-1)b²=x²-2cx+a²(x≤-a或x≥a),由圖象知x=a時(shí)PF²_min=(c-a)²,PF_min=c-a,此時(shí)P(a,0);PF無(wú)最大值

（說(shuō)明：該結(jié)論可以先從圖中看出，再進(jìn)行驗(yàn)證）

(2)由(1) PF_min=c-a,故r<c-a時(shí)，A∩B有0個(gè)元素；r=c-a時(shí)，A∩B有1個(gè)元素；c-a<r<c+a時(shí)，A∩B有2個(gè)元素；r=c+a時(shí)，A∩B有3個(gè)元素；r>c+a時(shí)，A∩B有4個(gè)元素

例3、（1）寫(xiě)出與的漸近線方程，由此說(shuō)明（λ≠0）的漸近線方程是什么？

（2）寫(xiě)出與-=1的漸近線方程，由此說(shuō)明（λ≠0）的漸近線方程是什么？

（3）由(1)(2)你能得到什么結(jié)論？

（4）求與=1有公共漸近線且過(guò)點(diǎn)（15，4）的雙曲線方程

解：（1）y=±x，

(2)y=±x，

(3) 雙曲線與漸近線方程具有統(tǒng)一形式，其中λ≠0為雙曲線方程，λ=0時(shí)為相應(yīng)的漸近線方程

（4）設(shè)雙曲線方程為=λ，將(15,4)代入得λ=8，從而雙曲線方程為=8

2、雙曲線與漸近線方程具有統(tǒng)一形式，其中λ≠0為雙曲線方程，λ=0時(shí)為相應(yīng)的漸近線方程

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于

A、0.5          B、1          C、3          D、6

2、已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則點(diǎn)在

A、第一象限      B、第二象限      C、第三象限        D、第四象限

3、橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為

A、        B、        C、        D、

4、若焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程是，則其焦距的取值范圍是         

5、（1）雙曲線上任意一點(diǎn)到兩條漸進(jìn)線的距離的乘積是一個(gè)定值；（2）經(jīng)過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)，作平行于兩漸近線的直線，與漸近線交于兩點(diǎn)，則平行四邊形的面積為定值，求此定值。

 [答案]

1、C

2、C

3、A

4、-2<k<1

5、（1）設(shè)雙曲線的方程為  所以漸近線方程為；到的距離  到的距離

*又在雙曲線上 所以 即    故*可化為

（2）證明：設(shè)點(diǎn)到兩漸近線的距離分別為，兩漸進(jìn)線的夾角為，則有： ，

代入上式并整理得：。

教后感想與作業(yè)情況