2008年全國各地中考試題壓軸題精選講座三

函數(shù)及圖像與幾何問題

【知識(shí)縱橫】

    函數(shù)（本節(jié)主要指一次函數(shù)、反比例函數(shù)）及圖像與幾何問題，是以函數(shù)為背景探求幾何性質(zhì)，這類題很重要點(diǎn)是利用函數(shù)的性質(zhì)，解決幾個(gè)主要點(diǎn)的坐標(biāo)問題，使幾何知識(shí)和函數(shù)知識(shí)有機(jī)而自然結(jié)合起來，這樣，才能突破難點(diǎn)。但在解這類題目時(shí)，要注意方程的解與坐標(biāo)關(guān)系，及坐標(biāo)值與線段長度關(guān)系。

【典型例題】

【例1】（山西太原）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與交于點(diǎn)，分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

    【思路點(diǎn)撥】（1）注意直線方程的解與坐標(biāo)關(guān)系；

（2）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論，．

（3）以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形

三種情形。

【例2】（浙江湖州）已知：在矩形中，，．分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)．

（1）求證：與的面積相等；

（2）記，求當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值為多少？

（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)，使得將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【思路點(diǎn)撥】（1）用的代數(shù)式表示與的面積； （2）寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)（含的代數(shù)式表示），利用三角形面積公式解之；（3）設(shè)存在這樣的點(diǎn)，將沿對(duì)折后，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．證．

【例3】（浙江嘉興）如圖，直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限且為正三角形，的外接圓交軸的正半軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線交軸于點(diǎn)．

（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求直線的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)分別是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平分四邊形的周長．

試探究：的最大面積？

【思路點(diǎn)撥】（1）作于；

（2）連結(jié)A C,證CD‖OB.（3）通過

幾何圖形建立二次函數(shù)模型解之，注意

自變量的取值范圍。

【例4】（07杭州市） 在直角梯形中，，高（如圖1）。動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是。而當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)正好到達(dá)點(diǎn)。設(shè)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)間為時(shí)，的面積為（如圖2）。分別以為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)在邊上從到運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的函數(shù)圖象是圖3中的線段。

（1）分別求出梯形中的長度；

（2）寫出圖3中兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分別寫出點(diǎn)在邊上和邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動(dòng)中關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的大致圖象。

【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)出發(fā)秒后，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)且點(diǎn)正好到達(dá)點(diǎn)時(shí)，由圖3知此時(shí)△ABC面積為30. （2）結(jié)合（1）的結(jié)論寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）考慮當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)及當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)兩種的關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

【學(xué)力訓(xùn)練】

1、(07臺(tái)州市) 如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，將邊折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知折疊，且．

（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說明理由；

（2）求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是否存在過點(diǎn)的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

2、（浙江衢州）已知直角梯形紙片OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，點(diǎn)T在線段OA上(不與線段端點(diǎn)重合)，將紙片折疊，使點(diǎn)A落在射線AB上(記為點(diǎn)A′)，折痕經(jīng)過點(diǎn)T，折痕TP與射線AB交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為t，折疊后紙片重疊部分(圖中的陰影部分)的面積為S；

(1)求∠OAB的度數(shù)，并求當(dāng)點(diǎn)A′在線段AB上時(shí)，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時(shí)，求t的取值范圍；

(3)S存在最大值嗎？若存在，求出這個(gè)最大值，并求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

3、（江蘇鹽城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形,點(diǎn)A

的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD.

（1）求直線AB的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（,0）時(shí)，求此時(shí)DP的長及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）是否存在點(diǎn)P,使△OPD的面積等于,若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4、（四川樂山）在平面直角坐標(biāo)系中△ABC的邊AB在x軸上，且OA>OB,以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，若C的坐標(biāo)為(0,2),AB=5, A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)X_A,X_B是關(guān)于X的方程的兩根:

(1)求m，n的值;

(2)若∠ACB的平分線所在的直線交x軸于點(diǎn)D，試求直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式;

(3)過點(diǎn)D任作一直線分別交射線CA，CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M，N，則的值是否為定值，若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由.