課題: 3.4 互斥事件(1)
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
(1)正確理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、對(duì)立事件的概念;
(2)概率的幾個(gè)基本性質(zhì):
(3)正確理解和事件與積事件,以及互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系.
2、過程與方法:
通過事件的關(guān)系、運(yùn)算與集合的關(guān)系、運(yùn)算進(jìn)行類比學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的類化與歸納的數(shù)學(xué)思想。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:
通過數(shù)學(xué)活動(dòng),了解教學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的具體情境,從而激發(fā)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)的情趣。
教學(xué)重點(diǎn):
概率的加法公式及其應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn):
事件的關(guān)系與運(yùn)算
教學(xué)過程:
一、問題情境
體育考試的成績的等級(jí)為優(yōu)、良、中、不及格的事件分別記為.在同一次體育考試中,同一人不能同時(shí)既得優(yōu)又得良,即事件是不可能同時(shí)發(fā)生的.將這種不可能同時(shí)發(fā)生的事件稱互斥事件。
在上述關(guān)于體育考試成績的問題中,用事件表示事件“優(yōu)”和“良”,那么從50人中任意抽取1個(gè)人,有50種等可能的方法,而抽到優(yōu)良的同學(xué)的方法有9+15種,從而事件發(fā)生的概率. 另一方面,,因此有.
三、建構(gòu)數(shù)學(xué)
1.即事件A 與B 是不可能同時(shí)發(fā)生的.不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件。
2.事件A,B,C,D,其中任意兩個(gè)都是互斥的.一般地,如果事件A1,A2,…,An中的任何兩個(gè)都是互斥事件,就說事件A1,A2,…,An彼此互斥.
3.設(shè)A,B 為互斥事件,當(dāng)事件A,B 有一個(gè)發(fā)生,我們把這個(gè)事件記作A+B.在上述關(guān)于體育考試成績的問題中,事件A+B 就表示事件“優(yōu)”或“良”,那么,事件A+B 發(fā)生的概率是多少呢?
由以上分析不難發(fā)現(xiàn),概率必須滿足如下第三個(gè)基本要求:
如果事件A,B 互斥,那么事件A+B 發(fā)生的概率,等于事件A,B 分別發(fā)生的概率的和,即
P(A+B)=P(A)+P(B).
一般地,如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,則
P(A1+A2+ … +An)=P(A1)+P(A2)+ … +P(An).
兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生,則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件.事件A 的對(duì)立事件記為.
圖示為:
關(guān)系:{x|x為對(duì)立事件}{x|x為互斥事件}
對(duì)立事件與A必有一個(gè)發(fā)生,故+A是必然事件,從而
P()+P(A)=P(+A)=1.
由此,我們可以得到一個(gè)重要公式:
P()=1-P(A).
四、數(shù)學(xué)運(yùn)用
1.例題
例1 一只口袋內(nèi)裝有大小一樣的4只白球與4只黑球,從中一次任意摸出2只球.記摸出2只白球?yàn)槭录,摸出1只白球和1只黑球(yàn)槭录拢畣枺菏录? 與B 是否為互斥事件?是否為對(duì)立事件?
解 事件和互斥
因?yàn)閺闹幸淮慰梢悦?只黑球,所以事件和不是對(duì)立事件.
練習(xí):果事件A、B互斥,那么 。 )
. A+B是必然事件?. +是必然事件.與一定互斥? . 與一定不互斥 (B)
例2 某人射擊1次,命中7~10環(huán)的概率如表所示:
命中環(huán)數(shù)
10環(huán)
9環(huán)
8環(huán)
7環(huán)
概率
0.12
0.18
0.28
0.32
(1)求射擊1次,至少命中7環(huán)的概率;
(2)求射擊1次,命中不足7環(huán)的概率.
解 記事件“射擊1次,命中環(huán)”為則事件兩兩相斥.
(1)記“射擊一次,至少命中7環(huán)”的事件為,那么當(dāng),,或之一發(fā)生時(shí),事件發(fā)生.由互斥事件的概率加法公式,得
=
=.
(2)事件“射擊一次,命中不足7環(huán)”是事件“射擊一次,命中至少7環(huán)”的對(duì)立事件,即表示事件“射擊一次,命中不足7環(huán)”.根據(jù)對(duì)立事件的概率公式,得
.
答 此人射擊1次,至少命中7環(huán)的概率為0.9;命中不足7環(huán)的概率為0.1.
思考;甲、乙同時(shí)向一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊,甲擊中的概率為0.4,乙擊中的概率為0.5,則目標(biāo)被擊中的概率是否為0.4+0.5=0.9?如果不是,說明理由?
(不是,甲、乙擊中目標(biāo)不互斥)
例3 黃種人群中各種血型的人所占的比如表所示:
血型
A
B
AB
O
該血型所占比%
28
29
8
35
已知同種血型的人可以輸血,O 型血可以輸給任一種血型的人,任何人的血都可以輸給 AB型血的人,其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血,若小明因病需要輸血,問:(1)任找一個(gè)人,其血可以輸給小明的概率是多少?
(2)任找一個(gè)人,其血不能輸給小明的概率是多少?
解 (1)對(duì)任一人,其血型為A,B,AB,O型血的事件分別記為它們是互斥的.由已知,有.
因?yàn)锽,O型血可以輸給B型血的人,故“可以輸給B型血的人”為事件.根據(jù)互斥事件的加法公式,有.
(2)由于A,AB型血不能輸給B型血的人,故“不能輸給B型血的人”為事件,且.
答 任找一人,其血可以輸給小明的概率為0.64,其血不能輸給小明的概率為0.36.
注 :第(2)問也可以這樣解:因?yàn)槭录捌溲梢暂斀oB型血的人”與事件“其血不能輸給B型血的人”是對(duì)立事件,故由對(duì)立事件的概率公式,有
五、回顧小結(jié)
1.互斥事件和對(duì)立事件的概念;
2.互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算公式;
3.對(duì)立事件的概率間的關(guān)系.
六、課外作業(yè):
課本第108頁第1~7題.
課題: 3.4 互斥事件(2)
教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)與技能:
(1)正確理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、對(duì)立事件的概念;
(2)概率的幾個(gè)基本性質(zhì):
1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0≤P(A)≤1;
2)當(dāng)事件A與B互斥時(shí),滿足加法公式:P(A+B)= P(A)+ P(B);
3)若事件A與B為對(duì)立事件,則A+B為必然事件,
所以P(A+B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1―P(B)
(3)正確理解和事件與積事件,以及互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系.
2、過程與方法:通過事件的關(guān)系、運(yùn)算與集合的關(guān)系、運(yùn)算進(jìn)行類比學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的類化與歸納的數(shù)學(xué)思想。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀:通過數(shù)學(xué)活動(dòng),了解教學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的具體情境,從而激發(fā)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)的情趣。
教學(xué)重點(diǎn):概率的加法公式及其應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn):事件的關(guān)系與運(yùn)算
教學(xué)過程:
練習(xí):教材P108---練習(xí)題
二、數(shù)學(xué)運(yùn)用
一、處理上節(jié)習(xí)題
例1.盒中有6只燈泡,其中2只次品,4只正品,有放回地從中任取兩次,每次取一只,試求下列事件的概率:
(1)取到的2只都是次品; (2)取到的2只中正品、次品各一只;?
(3)取到的2只中至少有一只正品.?
解:從6只燈泡中有放回地任取兩只,共有36種不同取法.?
(1)取到的2只都是次品情況為種.因而所求概率為.?
(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能:第一次取到正品,第二次取到次品;及第一次取到次品,第二次取到正品.因而所求概率為.
(3)由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對(duì)立事件.因而所求概率為.
例2. 袋中有12個(gè)小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,得到紅球的概率為,得到黑球或黃球的概率是,得到黃球或綠球的概率也是,試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少?
解:設(shè)得到紅球、得到黑球、得到黃球、得到綠球依次為事件A、B、C、D,根據(jù)題意得
解得:
練習(xí):從男女學(xué)生共有36名的班級(jí)中,任意選出2名委員,任何人都有同樣的當(dāng)選機(jī)會(huì).如果選得同性委員的概率等于,求男女生相差幾名?
解:設(shè)男生有名,則女生有名.選得2名委員都是男性的概率為.
選得2名委員都是女性的概率為?.
上兩種選法是互斥的,又選得同性委員的概率等于,
得?.解得或?
即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.
總之,男女生相差6名.
三、作業(yè):
1.回答下列問題:?
(1)甲、乙兩射手同時(shí)射擊一目標(biāo),甲的命中率為0.65,乙的命中率為0.60,那么能否得出結(jié)論:目標(biāo)被命中的概率等于0.65+0.60=1.25,為什么?
(2)一射手命中靶的內(nèi)圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出結(jié)論:目標(biāo)被命中的概率等于0.25+0.50=0.75,為什么??
(3)兩人各擲一枚硬幣,“同時(shí)出現(xiàn)正面”的概率可以算得為.由于“不出現(xiàn)正面”是上述事件的對(duì)立事件,所以它的概率等于這樣做對(duì)嗎?說明道理.
解: (1)不能.因?yàn)榧酌心繕?biāo)與乙命中目標(biāo)兩事件不互斥.?
(2)能.因?yàn)槊邪械膬?nèi)圈和命中靶的其余部分是互斥事件.?
(3)不對(duì).因?yàn)椤安怀霈F(xiàn)正面”與“同時(shí)出現(xiàn)正面”不是對(duì)立事件,故其概率和不為1.
2. 某市派出甲、乙兩支球隊(duì)參加全省足球冠軍賽.甲乙兩隊(duì)奪取冠軍的概率分別是 和.試求該市足球隊(duì)奪得全省足球冠軍的概率.()
3. 在房間里有4個(gè)人.問至少有兩個(gè)人的生日是同一個(gè)月的概率是多少? ()
5.某單位36人的血型類別是:A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人.現(xiàn)從這36人中任選2人,求此2人血型不同的概率.()
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