2009年高考數(shù)學一輪復習資料（共十三講，103頁）

29、題目 高中數(shù)學復習專題講座排列、組合的應用問題

高考要求

排列、組合是每年高考必定考查的內容之一，縱觀全國高考數(shù)學題，每年都有1～2道排列組合題，考查排列組合的基礎知識、思維能力 

重難點歸納

1  排列與組合的應用題，是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應用問題  解決這類問題通常有三種途徑  (1)以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素  (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置  (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)  前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法 

2  在求解排列與組合應用問題時，應注意  

(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；

(2)通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；

(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；

(4)列出式子計算和作答 

3  解排列與組合應用題常用的方法有  直接計算法與間接(剔除)計算法；分類法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法等八種 

4  經常運用的數(shù)學思想是 

①分類討論思想；②轉化思想；③對稱思想 

典型題例示范講解

 例1在∠AOB的OA邊上取m個點，在OB邊上取n個點(均除O點外)，連同O點共m+n+1個點，現(xiàn)任取其中三個點為頂點作三角形，可作的三角形有(    )

命題意圖  考查組合的概念及加法原理 

知識依托  法一分成三類方法；法二，間接法，去掉三點共線的組合 

錯解分析  A中含有構不成三角形的組合，如  CC中，包括O、B_i、B_j;CC中，包含O、A_p、A_q，其中A_p、A_q,B_i、B_j分別表示OA、OB邊上不同于O的點；B漏掉△A_iOB_j；D有重復的三角形  如CC中有△A_iOB_j,CC中也有△A_iOB_j 

技巧與方法  分類討論思想及間接法 

解法一  第一類辦法  從OA邊上(不包括O)中任取一點與從OB邊上(不包括O)中任取兩點，可構造一個三角形，有CC個；第二類辦法  從OA邊上(不包括O)中任取兩點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構造一個三角形，有CC個；第三類辦法  從OA邊上(不包括O)任取一點與OB邊上(不包括O)中任取一點，與O點可構造一個三角形，有CC個  由加法原理共有N=CC+CC+CC個三角形 

解法二  從m+n+1中任取三點共有C個，其中三點均在射線OA(包括O點)，有C個，三點均在射線OB(包括O點)，有C個  所以，個數(shù)為N=C－C－C個 

答案  C

例2四名優(yōu)等生保送到三所學校去，每所學校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_________ 

命題意圖  本題主要考查排列、組合、乘法原理概念，以及靈活應用上述概念處理數(shù)學問題的能力 

知識依托  排列、組合、乘法原理的概念 

錯解分析  根據(jù)題目要求每所學校至少接納一位優(yōu)等生，常采用先安排每學校一人，而后將剩的一人送到一所學校，故有3A種  忽略此種辦法是  將同在一所學校的兩名學生按進入學校的前后順序，分為兩種方案，而實際題目中對進入同一所學校的兩名學生是無順序要求的 

技巧與方法  解法一，采用處理分堆問題的方法  解法二，分兩次安排優(yōu)等生，但是進入同一所學校的兩名優(yōu)等生是不考慮順序的 

解法一  分兩步  先將四名優(yōu)等生分成2，1，1三組，共有C種；而后，對三組學生安排三所學校，即進行全排列，有A³₃種  依乘法原理，共有N=C =36(種) 

解法二  分兩步  從每個學校至少有一名學生，每人進一所學校，共有A種；而后，再將剩余的一名學生送到三所學校中的一所學校，有3種  值得注意的是  同在一所學校的兩名學生是不考慮進入的前后順序的  因此，共有N=A?3=36(種) 

答案  36

例3有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？

解法一(間接法)  任取三張卡片可以組成不同三位數(shù)C?2³?A(個)，其中0在百位的有C?2²?A (個)，這是不合題意的，故共有不同三位數(shù)  C?2³?A－C?2²?A=432(個） 

解法二 (直接法)   第一類  0與1卡片放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個); 第二類  0與1卡片不放首位，可以組成不同三位數(shù)有 (個) 

故共有不同三位數(shù)  48+384＝432(個） 

學生鞏固練習

1  從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經過坐標原點的直線有_________條(用數(shù)值表示) 

2  圓周上有2n個等分點(n＞1)，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為_________ 

3  某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？

4  二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中選取3個不同的值，則可確定坐標原點在拋物線內部的拋物線多少條？

5有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)

(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置 

(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊 

(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起 

(4)全體排成一行，男、女各不相鄰 

(5)全體排成一行，男生不能排在一起 

(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變 

(7)排成前后二排，前排3人，后排4人 

(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人 

6   20個不加區(qū)別的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，要求每個盒內的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，求不同的放法種數(shù) 

7  用五種不同的顏色，給圖中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相鄰部分涂不同色，則涂色的方法共有幾種？

解析  因為直線過原點，所以C=0，從1，2，3，5，7，11這6個數(shù)中任取2個作為A、B兩數(shù)的順序不同，表示的直線不同，所以直線的條數(shù)為A=30 

答案  30

2  解析  2n個等分點可作出n條直徑，從中任選一條直徑共有C種方法；再從以下的(2n－2)個等分點中任選一個點，共有C種方法，根據(jù)乘法原理  直角三角形的個數(shù)為  C?C=2n(n－1)個 

答案  2n(n－1)

3  解  出牌的方法可分為以下幾類 

(1)5張牌全部分開出，有A種方法；

(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；

(3)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；

(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法；

(5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法；

(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法 

因此，共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860種 

4  解  由圖形特征分析，a＞0,開口向上，坐標原點在內部f(0)=c＜0;a＜0,開口向下，原點在內部f(0)=c＞0,所以對于拋物線y=ax²+bx+c來講，原點在其內部af(0)=ac＜0,則確定拋物線時，可先定一正一負的a和c，再確定b,故滿足題設的拋物線共有CCAA=144條 

5  解  (1)利用元素分析法，甲為特殊元素，故先安排甲左、右、中共三個位置可供甲選擇  有A種，其余6人全排列，有A種  由乘法原理得AA=2160種 

(2)位置分析法  先排最右邊，除去甲外，有A種，余下的6個位置全排有A種，但應剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA種  則符合條件的排法共有AA－AA=3720種 

(3)捆綁法  將男生看成一個整體，進行全排列  再與其他元素進行全排列  共有AA=720種 

(4)插空法  先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有AA=144種 

(5)插空法  先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440種 

(6)定序排列  第一步，設固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N，第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為七個人的全排列，因此A=N×A，∴N== 840種  ?

(7)與無任何限制的排列相同，有A=5040種 

(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA  最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可  共有A×A×A=720種 

6  解  首先按每個盒子的編號放入1個、2個、3個小球，然后將剩余的14個小球排成一排，如圖，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15個空檔，其中“O”表示小球，“|”表示空檔  將求小球裝入盒中的方案數(shù)，可轉化為將三個小盒插入15個空檔的排列數(shù)  對應關系是  以插入兩個空檔的小盒之間的“O”個數(shù)，表示右側空檔上的小盒所裝有小球數(shù)  最左側的空檔可以同時插入兩個小盒  而其余空檔只可插入一個小盒，最右側空檔必插入小盒，于是，若有兩個小盒插入最左側空檔，有C種；若恰有一個小盒插入最左側空檔，有種；若沒有小盒插入最左側空檔，有C種  由加法原理，有N==120種排列方案，即有120種放法 

7  解  按排列中相鄰問題處理  (1)(4)或(2)(4)  可以涂相同的顏色  分類  若(1)(4)同色，有A種，若(2)(4)同色，有A種，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有A種  由加法原理，共有N=2A+A=240種 

8  解  每人隨意值兩天，共有CCC個；甲必值周一，有CCC個；乙必值周六，有CCC個；甲必值周一且乙必值周六，有CCC個  所以每人值兩天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表數(shù)，有N=CCC－2CCC+ CCC=90－2×5×6+12=42個 

課前后備注 　

30、題目 高中數(shù)學復習專題講座概率與統(tǒng)計

高考要求

概率是高考的重點內容之一，尤其是新增的隨機變量這部分內容  要充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率處理問題的基本思想方法 

重難點歸納

本章內容分為概率初步和隨機變量兩部分  第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率和獨立重復實驗  第二部分包括隨機變量、離散型隨機變量的期望與方差 

涉及的思維方法  觀察與試驗、分析與綜合、一般化與特殊化 

主要思維形式有  邏輯思維、聚合思維、形象思維和創(chuàng)造性思維 

典型題例示范講解

例1有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻率數(shù)如下 

［10，15］4  ［30，359  ［15，205  ［35，408 

［20，2510  ［40，453  ［25，3011

(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；

(2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖 

命題意圖  本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法 

知識依托  頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫法 

錯解分析  解答本題時，計算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別 

技巧與方法  本題關鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系 

解  (1)由所給數(shù)據(jù)，計算得如下頻率分布表 

數(shù)據(jù)段

頻數(shù)

頻率

累積頻率

［10,15

4

0.08

0.08

［15,20

5

0.10

0.18

［20,25

10

0.20

0.38

［25,30

11

0.22

0.60

［30,35

9

0.18

0.78

［35,40

8

0.16

0.94

［40,45

3

0.06

1

總計

50

1

(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下 

例2袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p．

  (Ⅰ) 從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止．

(i)求恰好摸5次停止的概率；

(ii)記5次之內(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求隨機變量的分布率及數(shù)學期望E．

   (Ⅱ) 若A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為12，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值．

命題意圖  本題考查利用概率知識和期望的計算方法 

知識依托  概率的計算及期望的概念的有關知識 

錯解分析  在本題中，隨機變量的確定，稍有不慎，就將產生失誤 

技巧與方法  可借助n次獨立重復試驗概率公式計算概率 

解  (Ⅰ)（i）

(ii)隨機變量的取值為0，1，2，3，；

由n次獨立重復試驗概率公式，得

；

（或）

隨機變量的分布列是

0

1

2

3

P

的數(shù)學期望是 

(Ⅱ)設袋子A中有m個球，則袋子B中有2m個球

由，得 

例3如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N₁、N₂，當元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)N₁正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N₂正常工作  已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng)N₁，N₂正常工作的概率P₁、P₂

解  記元件A、B、C正常工作的事件分別為A、B、C，

由已知條件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90 

(1)因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)N₁正常工作的概率P₁=P(A?B?C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng)N₁正常工作的概率為0.648 

(2)系統(tǒng)N₂正常工作的概率P₂=P(A)?［1－P()］

=P(A)?［1－P()P()］

=0  80×［1－(1－0  90)(1－0  90)］=0  792

故系統(tǒng)N₂正常工作的概率為0  792 

學生鞏固練習

1  甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是  現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為(    )

2  已知隨機變量ζ的分布列為  P(ζ=k)=,k=1,2,3,則P(3ζ+5)等于

A  6                B  9             C  3             D  4

3   1盒中有9個正品和3個廢品，每次取1個產品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)ζ的期望Eζ=_________ 

4  某班有52人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個班中選出4人參加某項活動，這4人恰好來自不同組別的概率是_________ 

5  甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.6，計算 

(1)兩人都擊中目標的概率；

(2)其中恰有一人擊中目標的概率；

(3)至少有一人擊中目標的概率 

6  已知連續(xù)型隨機變量ζ的概率密度函數(shù)f(x)=

(1)求常數(shù)a的值，并畫出ζ的概率密度曲線；

(2)求P(1＜ζ＜) 

7  設P在［0,5］上隨機地取值，求方程x²+px+=0有實根的概率 

8  設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為0  2，機器發(fā)生故障時全天停止工作  若一周5個工作日里均無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤0萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元。求一周內期望利潤是多少？

參考答案:

1  解析  設甲命中目標為事件A，乙命中目標為事件B，丙命中目標為事件C，則目標被擊中的事件可以表示為A+B+C，即擊中目標表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生 

故目標被擊中的概率為1－P(??)=1－

答案  A

2  解析  Eξ=(1+2+3)?=2，Eξ²=(1²+2²+3²)?=

∴Dξ=Eξ²－(Eξ)²=－2²= 

∴D(3ξ+5)=9Eξ=6 

答案  A

3  解析  由條件知，ξ的取值為0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,

    答案  0.3

4  解析  因為每組人數(shù)為13，因此，每組選1人有C種方法，所以所求概率為P= 

答案 

5  解  (1)我們把“甲射擊一次擊中目標”叫做事件A，“乙射擊一次擊中目標”叫做事件B  顯然事件A、B相互獨立，所以兩人各射擊一次都擊中目標的概率是P(A?B)?=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36

答