2009年上海市普通高等學校秋季招生考試
數 學 模 擬 試 卷（2009.3）
考生注意：1.答卷前，考生務必將姓名、座位號、校驗碼等填寫清楚.
2.本試卷共有20道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.
3.本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應位置，本卷上任何解答都不作評分依據。
一. 填空題 (本大題滿分55分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每題填對得5分，否則一律得零分.
1．已知
，則
＝______________。
2．方程
的解集是
。
3．若Z為復數，且
，則
___________。
4．以橢圓
中心為頂點，右頂點為焦點的拋物線的標準方程為______________。
5．底面邊長為2，側棱長為4的正三棱錐的體積是 ．
6．（文）若向量
與
的夾角為
，
，則
．
（理）已知兩個非零向量與的夾角為
，
，
，若
的模為
，則實數
的值是 ．
7．工業(yè)博覽會期間，有6輛不同型號的新型轎車排成2行3列的展出，其中有2輛轎車來自大眾汽車集團公司，則此2輛轎車前后或左右相鄰的概率為___________。（用分數表示）
8．若數列
中，
，則數列中的項的最小值為_________．
9．（文）設
是不等式組
表示的平面區(qū)域，
則中的點
到直線
距離的最大值是
。
（理）設常數
展開式中
的系數為
，
則
__
___。
10．已知函數
，若
，則實數
的取值范圍是 ．
11．拋物線
(n∈N*)，交x軸于
兩點，
則
值為____ _______
二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在答題紙相應的空格中. 每題選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個（不論是否都寫在空格內），或者沒有填寫在題號對應的空格內，一律得零分.
12．若
，則角
的終邊所在象限是（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
13．條件甲：
，條件乙：
，則甲是乙成立的（ ）
（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
14．已知P是橢圓
上的點,
是兩個焦點,則
的最大值與最小值之差是( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
15．設S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“＊”（即對任意的
，對于有序元素對
，在S中有唯一確定的元素
＊
與之對應）。若對任意的，
有＊
＊
=，則對任意的，下列等式中不恒成立的是
（ ）
（A）＊＊=
（B）＊＊=
（C）
＊＊
＊＊=
（D）＊＊
＊＊=
三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內寫出必要的步驟.
16．（本題滿分12分）在棱長為2的正方體
中，（如圖）
是棱
的中點，
是側面
的中心．
（1） 求三棱錐
的體積；
（2） 求
與底面
所成的角的大�。ńY果用反三角函數表示）
17．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）
已知函數
(其中
),
.若函數
的圖像與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為
，且直線
是函數圖像的一條對稱軸.
(1)求的表達式.
(2)求函數
的單調遞增區(qū)間.
18. （本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）
在4月份，有一新款服裝投入某商場銷售，
（1）問4月幾號該款服裝銷售件數最多？其最大值是多少？
（2）按規(guī)律，當該商場銷售此服裝超過2000件時，社會上就流行，而日銷售量連續(xù)下降，并低于150件時，則流行消失，問該款服裝在社會上流行是否超過10天？并說明理由。
19. （本題滿分16分，第1小題3分，第2小題6分，第3小題7分）
雙曲線
上一點
到左，右兩焦點距離的差為2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設
是雙曲線的左右焦點，
是雙曲線上的點，若
，
求
的面積；
（3）過
作直線
交雙曲線
于
兩點，若
，是否存在這樣的直線，使
為矩形？若存在，求出的方程，若不存在，說明理由．
20. （本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）
由函數
確定數列
，
，函數的反函數
能確定數列
，
，若對于任意
，都有
，則稱數列是數列的“自反數列”。
(1)若函數
確定數列的自反數列為，求的通項公式；
(2)在(1)條件下，記
為正數數列
的調和平均數，若
，
為數列
的前
項和，
為數列
的調和平均數，求
；
(3)已知正數數列
的前項之和
。求
的表達式。
1. 
2. 
3．
4．
5．
6．（文）
（理）
7．
8． 4 9．（文）
（理）1 10．
11．
12-15. C A A B
16. （1）
．
（2）取
的中點
，所求的角的大小等于
的大小，
中
，所以
與底面
所成的角的大小是
．
17. (1)由函數
的圖像與x軸的任意兩個相鄰交點間的距離為
得函數周期為
,
直線
是函數圖像的一條對稱軸,
,
或
,
, 
, 
. 
.
(2)
,
即函數
的單調遞增區(qū)間為
.
18. （1）第
天銷售的件數為
則
則：
解得
，即
（2）時，
，即未流行
時，
即從
當
時，
，令
，解得
即從
19. （1）
（2） 妨設
在第一象限，則
（3）若直線斜率存在，設為
，代入
得
若平行四邊形
為矩形，則
無解
若直線垂直
軸，則
不滿足．
故不存在直線
，使為矩形．
20. 解：(1)由題意的：f ?1(x)=
= f(x)=
，所以p = ?1，所以an=
翰林匯
(2) an=，dn=
=n，
Sn為數列{dn}的前n項和，Sn=
，又Hn為數列{Sn}的調和平均數，
Hn=
=
=
=
=
(3)因為正數數列{cn}的前n項之和Tn=(cn+
)，
所以c1=(c1+
)，解之得：c1=1，T1=1
當n≥2時，cn = Tn?Tn?1，所以2Tn = Tn?Tn?1 +
，
Tn +Tn?1 = ，即：
= n，
所以，
= n?1，
= n?2，……，
=2，累加得：
=2+3+4+……+ n， 
=1+2+3+4+……+ n =
，Tn=
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