2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷理科數(shù)學（二）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．考試結(jié)束，將答題卡和答題紙交回．
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上．
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．不能答在試卷上．
一、選擇題：（每小題５分，共60分）
1．設集合
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2 設
且
，若復數(shù)
是純虛數(shù)，則（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函數(shù)
的圖象（ ）
A．關(guān)于
軸對稱 B．關(guān)于
軸對稱 C．關(guān)于直線
對稱 D．關(guān)于原點對稱
4．若
，則（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知實數(shù)
同時滿足三個條件：① 
，②
，③
，則
的最
小值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．從5名男運動員、4名女運動員中任選4名參加
米接力賽跑，則選到的4名運動員中既有男運動員又有女運動員的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
的展開式中的系數(shù)是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函數(shù)
，
，動直線
與
、
的圖象分別交于點
、
，則
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．設
，則橢圓
的離心率的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．正四面體
中，
是
中點，
與
所成角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
11．某等腰三角形的兩腰所在的直線方程是
與
，點
在等腰三角形的底邊上，底邊所在直線的斜率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
12．正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑的比等于（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
注意事項：請用黑色中性筆將答案寫在答題紙上，在本試卷上作答無效．
二、填空題：（每小題5分，共20分）
13. 已知向量
，
與
共線，則
．
14. 設曲線
在
處的切線與直線
垂直，則直線
的傾斜角是
弧度．
15. 曲線
的過焦點且傾斜角是
的弦的長度等于 ．
16. 請寫出一個三棱錐是正三棱錐的三個充要條件：
充要條件①
；
充要條件②
；
充要條件③
．
三、解答題：（本大題共6小題，共70分）
17. （本題滿分10分）在
中，
，
，求的面積．
18. （本題滿分12分）在正三棱柱
中，
，
，
是
的中點，在
上且
．
（Ⅰ）證明：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
19. （本題滿分12分）關(guān)于學平險（即學生平安保險），學生自愿投保，每個投保學生每年繳納保費
元，如果學生發(fā)生意外傷害或符合賠償?shù)募膊�，可獲得
元的賠償．假定各投保學生是否出險相互獨立，并且每個投保學生在一年內(nèi)出險的概率均是
（說明：此處對實際保險問題作了簡化處理）．假定一年內(nèi)有人投保．
（Ⅰ）求保險公司在學平險種中，一年內(nèi)至少支付賠償金元的概率；
（Ⅱ）設保險公司辦理學平險除賠償金之外的成本為
萬元，求該公司在學平險種上盈利的期望．
20. （本題滿分12分）設數(shù)列
的前
項和為
，滿足
．
（Ⅰ）當
時，用表示；
（Ⅱ）求首項
的取值范圍，使得是遞減數(shù)列．
21. （本題滿分12分）設函數(shù)
．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）如果對于任意
恒有
，求
的取值范圍．
22. （本題滿分12分）點
是橢圓
短軸的一個端點，
是橢圓的一個焦點，
的延長線與橢圓交于點
，直線
與橢圓相交于點
、，與相交于點（與
、不重合）．
（Ⅰ）若是的中點，求
的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．
一、
1．C 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10．C
11．D 12．B
1～5略
6．
或
．
7．解：
．
其展開式中含
的項是：
，系數(shù)等于
．
8．解：根據(jù)題意：
．
9．解：
，橢圓離心率為
，
，
．
10．解：依腰意作出圖形．取
中點
，連接
、
，則
，不妨設四面體棱長為2，則
是等腰三角形，
必是銳角，就是
與
所成的角，
．
11．解：已知兩腰所在直線斜率為1，
，設底邊所在直線斜率為
，已知底角相等，由到角公式得：
，解得
或
．
由于等腰三角底邊過點（
，0）則只能取
．
12．解：如圖，正四面體
中，
是
中心，連
，此四面體內(nèi)切球與外接球具有共同球心
．必在上，并且
等于內(nèi)切球半徑，
等于外接球半徑．記
面積為
，則
，從而
．
二、
13．
．解：
，
與
共線
．
14．
．解：
，曲線
在（1，0）處的切線與直線
垂直，則
，的傾角是．
15．曲線
①，化作標準形式為
，表示橢圓，由于對稱性．取焦點
，過且傾角是135°的弦所在直線方程為：
，即
②，聯(lián)立式①與式②．消去y，得：
，由弦長公式得：
．
16．充要條件①：底面是正三角形，頂點在底面的射影恰是底面的中心．
充要條件②：底面是正三角形．且三條側(cè)棱長相等，
充要條件③：底面是正三角形，且三個側(cè)面與底面所成角相等．
再如：底面是正三角形．且三條側(cè)棱與底面所成角相等；三條側(cè)棱長相等，且三個側(cè)面與底面所成角相等；三個側(cè)面與底面所成角相等，三個側(cè)面兩兩所成二面角相等．
三、
17．解：
，則
，
，
．由正弦定理得
，
．
18．（1）證：已知
是正三棱柱，取
中點，
中點，連
，
，則、
、兩兩垂直，以、、為、
、
軸建立空間直角坐標系，又已知
，
則
．
，
，則
，又因
與
相交，故
面
．
（2）解：由（1）知，
是面的一個法向量．
，設
是面
的一個法向量，則
①，
②，取
，聯(lián)立式①、②解得
，則
．
二面角
是銳二面角，記其大小為
．則
，
二面角的大小
，亦可用傳統(tǒng)方法解（略）．
19．解：已知各投保學生是否出險相互獨立，且每個投保學生在一年內(nèi)出險的概率都是
，記投保的5000個學生中出險的人數(shù)為
，則
（5000，0．004）即服從二項分布．
（1）記“保險公司在學平險險種中一年內(nèi)支付賠償金至少5000元”為事件A，則
，
．
（2）該保險公司學平險除種總收入為
元=25萬元，支出成本8萬元，支付賠償金5000元=0．5萬元，盈利
萬元．
由~
知，
，
進而
萬元．
故該保險公司在學平險險種上盈利的期望是7萬元．
20．解（1）：由
得
，即
，
，而
由表可知，
在
及
上分別是增函數(shù)，在
及
上分別是減函數(shù)．
．
（2）
時，
等價于
，記
，
則
，因
，
則
在
上是減函數(shù)，
，故
．
當
時，
就是
，顯然成立，綜上可得
的取值范圍是：
22．解：（1）由條件可知橢圓的方程是：
①，直線
的方程是
②，
聯(lián)立式①、②消去并整理得
，由此出發(fā)時，
是等比數(shù)列，
．
（2）由（1）可知，
．當
時，
，
是遞減數(shù)列
對恒成立
．
，
時，是遞減數(shù)列．
21．解（1）：
，由
解得函數(shù)定義域呈
．
，由
解得
，列表如下：
0
0
ㄊ
極大
ㄋ
ㄋ
極小
ㄊ
解得
，進而求得中點
．
己知
在直線
上，則
．
（2）
．
設
，則
，點
到直線的距離
．
，由于直線與線段相交于
，則
，則
．
記
，則
．
其次，
，同理求得
到的中離：
，
設
，即
，由
得
．
，
即
且
時，
．
又
，當
即
時，
．注意到
，由對稱性，
時仍有
故
，進而
．
故四邊形的面積：
，
當時，
．
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