2000年高考江西、天津卷

 

 

一、選擇題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分,滿分60分。

(1)B     (2)B    (3)C      (4)D     (5)D

   (6)C     (7)B     (8)C      (9)A     (10)C

   (11)C    (12)D

 

二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分,滿分16分。

(13)

0

1

2

0.9025

0.095

0.0025

   (14)    (15)  (16)②③

 

三、解答題

(5)本小題主要考查等可能事件的概率計(jì)算及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分10分。

解:(I)甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè),乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè),故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè);又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個(gè),所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為,所求概率為;

                                                      ――5分

(II)甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為,故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為,所求概率為。

     或   ,所求概率為。

                                                      ――10分

(18甲)本小題主要考查空間向量及運(yùn)算的基本知識(shí)。滿分12分。

     如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O。


      (I)解:依題意得B,N,

       ∴                    ――2分

      (II)解:依題意得,B,C,。

       ∴ ,。

        。,                   ――5分

      ∴                   ――9分

(III)證明:依題意得,M

  , ,

  ∴ ,∴              ――12分

(18乙)本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系,邏輯推理能力。滿分

      12分。

      (I)證明:連結(jié)、AC,AC和BD交于O,連結(jié)。

∵ 四邊形ABCD是菱形,

∴ AC⊥BD,BC=CD。

又∵  ,

∴ ,

∴ ,

∵ DO=OB,

∴ BD,          ――2分

但 AC⊥BD,AC∩=O,

∴ BD⊥平面。

又 平面,

∴ BD。                                      ――4分

(II)解:由(I)知AC⊥BD,BD,

∴ 是平面角的平面角。

在中,BC=2,,,

∴ 。             ――6分

∵ ∠OCB=,

∴ OB=BC=1。

∴ ,

∴ 即。

作⊥OC,垂足為H。

∴ 點(diǎn)H是OC的中點(diǎn),且OH,

所以 。                       ――8分

(III)當(dāng)時(shí),能使⊥平面。

證明一:

∵ ,

∴ BC=CD=,

又 ,

由此可推得BD=。

∴ 三棱錐C- 是正三棱錐。                     ――10分

設(shè)與相交于G。

∵ ∥AC,且∶OC=2∶1,

∴ ∶GO=2∶1。

又 是正三角形的BD邊上的高和中線,

∴ 點(diǎn)G是正三角形的中心,

∴ CG⊥平面。

即 ⊥平面。                           ――12分

證明二:

由(I)知,BD⊥平面,

∵ 平面,∴ BD⊥。                ――10分

當(dāng) 時(shí) ,平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形,

同BD⊥的證法可得⊥。

又 BD∩=B,

∴⊥平面。                             ――12分  

   

(19)本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)、分類討論的

      數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力。滿分12分。

  解:(I)不等式即

            ,

  由此可得,即,其中常數(shù)。

  所以,原不等式等價(jià)于

              

 即                              ――3分

 所以,當(dāng)時(shí),所給不等式的解集為;

   當(dāng)時(shí),所給不等式的解集為。        ――6分

  (II)在區(qū)間上任取,,使得<。

         

                   

                   。      ――8分

(i)當(dāng)時(shí),

 ∵    ,

 ∴     ,

 又   ,

 ∴   ,

 即   。

 所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 ――10分

(ii)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上存在兩點(diǎn),,滿足

,,即,所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)。

綜上,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。――12分

(20)本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力,建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)。滿分12分。

     解:設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為m,則另一邊長(zhǎng)為 m,高為

                 

由和,得,

設(shè)容器的容積為,則有

       

整理,得

   ,                           ――4分

∴                                ――6分

令,有

    ,

即  ,

解得   ,(不合題意,舍去)。           ――8分

從而,在定義域(0,1,6)內(nèi)只有在處使。由題意,若過(guò)。ń咏0)或過(guò)大(接受1.6)時(shí),值很。ń咏0),因此,當(dāng)時(shí)取得最大值

   ,

這時(shí),高為。

答:容器的高為1.2m時(shí)容積最大,最大容積為。     ――12分

 

(21)本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì),推理和運(yùn)算能力。滿分12 

  分。

  解:(I)因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,故有

        ,

將代入上式,得

       

  =,    ――3分

   即    

          =,

   整理得 ,

   解得    =2或=3。                                 ――6分

   (II)設(shè)、的公比分別為、,

   為證不是等比數(shù)列只需證。

   事實(shí)上,  ,

       。

   由于 ,,又、不為零,

   因此,,故不是等比數(shù)列。               ――12分

(22)本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì),推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

      解:如圖,以AB為垂直平分線為軸,直線AB為軸,建立直角坐標(biāo)系,則CD⊥軸。因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D,且以A、B為焦點(diǎn),由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于軸對(duì)稱。                                                       ――2分

依題意,記A,C,E,其中為雙曲線的半焦距,是梯形的高。

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

               ,

              

設(shè)雙曲線的方程為,則離心率。

由點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得

                ,             ①

                    ②            ――7分

由①式得         ,            ③

將③式代入②式,整理得   

                 ,

故               。                     ――10分

由題設(shè)得,。

解得             

所以雙曲線的離心率的取值范圍為。           ――14分


同步練習(xí)冊(cè)答案