2000年高考江西、天津卷

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分60分。

（1）B     （2）B    （3）C      （4）D     （5）D

   （6）C     （7）B     （8）C      （9）A     （10）C

   （11）C    （12）D

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分16分。

（13）

0

1

2

0.9025

0.095

0.0025

   （14）    （15）  （16）②③

三、解答題

（5）本小題主要考查等可能事件的概率計(jì)算及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。滿分10分。

解：（I）甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，乙依次從判斷題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè)，故甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的可能結(jié)果有個(gè)；又甲、乙依次抽一題的可能結(jié)果有概率為個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙依次抽到判斷題的概率為，所求概率為；

                                                      ――5分

（II）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為，所求概率為。

     或   ，所求概率為。

                                                      ――10分

（18甲）本小題主要考查空間向量及運(yùn)算的基本知識(shí)。滿分12分。

     如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O。

      （I）解：依題意得B，N，

       ∴                    ――2分

      （II）解：依題意得，B，C，。

       ∴ ，。

        。，                   ――5分

      ∴                   ――9分

（III）證明：依題意得，M

  ， ，

  ∴ ，∴              ――12分

（18乙）本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系，邏輯推理能力。滿分

      12分。

      （I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于O，連結(jié)。

∵ 四邊形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD。

又∵  ，

∴ ，

∴ ，

∵ DO=OB，

∴ BD，          ――2分

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面。

又 平面，

∴ BD。                                      ――4分

（II）解：由（I）知AC⊥BD，BD，

∴ 是平面角的平面角。

在中，BC=2，，，

∴ 。             ――6分

∵ ∠OCB=，

∴ OB=BC=1。

∴ ，

∴ 即。

作⊥OC，垂足為H。

∴ 點(diǎn)H是OC的中點(diǎn)，且OH，

所以 。                       ――8分

（III）當(dāng)時(shí)，能使⊥平面。

證明一：

∵ ，

∴ BC=CD=，

又 ，

由此可推得BD=。

∴ 三棱錐C- 是正三棱錐。                     ――10分

設(shè)與相交于G。

∵ ∥AC，且∶OC=2∶1，

∴ ∶GO=2∶1。

又 是正三角形的BD邊上的高和中線，

∴ 點(diǎn)G是正三角形的中心，

∴ CG⊥平面。

即 ⊥平面。                           ――12分

證明二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵ 平面，∴ BD⊥。                ――10分

當(dāng) 時(shí) ，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，

同BD⊥的證法可得⊥。

又 BD∩=B，

∴⊥平面。                             ――12分  

（19）本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)、分類討論的

      數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力。滿分12分。

  解：（I）不等式即

            ，

  由此可得，即，其中常數(shù)。

  所以，原不等式等價(jià)于

 即                              ――3分

 所以，當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為；

   當(dāng)時(shí)，所給不等式的解集為。        ――6分

  （II）在區(qū)間上任取，，使得<。

                   。      ――8分

（i）當(dāng)時(shí)，

 ∵    ，

 ∴     ，

 又   ，

 ∴   ，

 即   。

 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 ――10分

（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在兩點(diǎn)，，滿足

，，即，所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)。

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。――12分

（20）本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識(shí)。滿分12分。

     解：設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為m，則另一邊長(zhǎng)為 m，高為

由和，得，

設(shè)容器的容積為，則有

整理，得

   ，                           ――4分

∴                                ――6分

令，有

    ，

即  ，

解得   ，（不合題意，舍去）。           ――8分

從而，在定義域（0，1，6）內(nèi)只有在處使。由題意，若過(guò)�。ń咏�0）或過(guò)大（接受1.6）時(shí)，值很�。ń咏�0），因此，當(dāng)時(shí)取得最大值

   ，

這時(shí)，高為。

答：容器的高為1.2m時(shí)容積最大，最大容積為。     ――12分

（21）本小題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。滿分12 

  分。

  解：（I）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，故有

        ，

將代入上式，得

  =，    ――3分

   即    

          =，

   整理得 ，

   解得    =2或=3。                                 ――6分

   （II）設(shè)、的公比分別為、，

   為證不是等比數(shù)列只需證。

   事實(shí)上，  ，

       。

   由于 ，，又、不為零，

   因此，，故不是等比數(shù)列。               ――12分

（22）本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

      解：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD⊥軸。因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于軸對(duì)稱。                                                       ――2分

依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高。

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

               ，

設(shè)雙曲線的方程為，則離心率。

由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得

                ，             ①

                    ②            ――7分

由①式得         ，            ③

將③式代入②式，整理得   

                 ，

故               。                     ――10分

由題設(shè)得，。

解得             

所以雙曲線的離心率的取值范圍為。           ――14分