設(shè)（i、j∈N*）是位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、

從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù). 數(shù)表中第行共有個(gè)正整數(shù).

（1）若＝2010，求i、j的值；

（2）記N*),

試比較與的大小, 并說明理由.

廣東惠陽高級(jí)中學(xué)2008-2009學(xué)年度

第二學(xué)期中段考高二年級(jí)數(shù)學(xué)（理科）試題（答卷）

題號(hào)

一

二

15

16

17

18

19

20

總分

得分

一：選擇題（每小題5分，共40分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

二：填空題（每小題5分，共30分）

9__________________________,  10___________________________。

11__________________________, 12___________________________。

13__________________________, 14___________________________。

三：解答題（共80分）

15(本小題滿分12分)

16(本小題滿分12分)

17(本小題滿分14分)

18(本小題滿分14分)

19(本小題滿分14分)

20(本小題滿分14分)

21 附加題（本小題滿分10分）(本題由試驗(yàn)班和重點(diǎn)班學(xué)生完成，所得分?jǐn)?shù)作為參考，不計(jì)入總分)

廣東惠陽高級(jí)中學(xué)2008-2009學(xué)年度

第二學(xué)期中段考高二年級(jí)數(shù)學(xué)（理科）試題（答案）

一：選擇題（每小題5分，共40分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

D

A

D

B

C

B

二：填空題（每小題5分，共30分）

9:   2  10:  8  11: 12:   18  13:  75 14: 1/h² =1/a² +1/b² +1/c²  

由，得．????????????????????????? 2分

所以．???????????? 6分

（2）由正弦定理得．                        8分

所以的面積．??????? 12分

16．解：（1）……………………………2分

設(shè)的增區(qū)間，

的減區(qū)間.…………………………6分

（2）令：

∴x=0和x=－2為極值點(diǎn)，………………………………………………8分

……………………………11分

∴m＜0…………………………………………………………12分

17.1)證明：連結(jié)，則//，   …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．    ………………3分

∵面，∴，

∴．  …………………………………………4分

2）證明：作的中點(diǎn)F，連結(jié)．

∵是的中點(diǎn)，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴ ． ………6分

∵是的中點(diǎn)，∴，

又，∴．

∴四邊形是平行四邊形，//，

∵，，

∴平面面．  …………………………………8分

又平面，∴面．  ………………9分

（3）．　……………………………10分

．  ……………………………14分

18.解: （1）∵  ，…………………………………… 2分

 ∴  過點(diǎn)的切線方程為

 即切線方程為：……………………4分

令，得，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為……………………6分

（2），

 ∴  …………………………………………9分

 ……………………………11分

由得，，

∴ 時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)單調(diào)遞減；………………13分

∴

∴ 當(dāng)，面積的最大值為.……14分

19．解：1）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x）元  ……    2分

月平均銷售量為件，則月平均利潤(rùn)（元）……4分

y與x的函數(shù)關(guān)系式為 …… 6分

（2）令……8分

    …… 10分

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，……12分

所以函數(shù)在取得最大值.  …… 13分

答：改進(jìn)工藝后當(dāng)時(shí)，使得旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大……14分

20.解：（1）分別令，2，3，得

       ∵，∴，，.………………………………………4分

   （2）證法一：猜想：，………………………………………………………5分

              由                   ①

        可知，當(dāng)≥2時(shí)，   ②

        ①-②，得  ，即.………………7分

        1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴；……………8分

        2）假設(shè)當(dāng)（≥2）時(shí)，.

          那么當(dāng)時(shí)，

              ，

              ∵，≥2，∴，

              ∴.

          這就是說，當(dāng)時(shí)也成立，

          ∴（≥2）.  顯然時(shí)，也適合.

         故對(duì)于n∈N*，均有.………………………………………10分

     證法二：猜想：，………………………………………………………5分

     1）當(dāng)時(shí)，成立；…………………………………………………6分

     2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，.…………………………………………………7分

        那么當(dāng)時(shí)，.

∴，

        ∴

       （以下同證法一）…………………………………………………………10分

（3）證法一：要證≤，

     只要證≤，………………11分

     即≤，…………………12分

 將代入，得≤，

即要證≤，即≤1. …………………………13分

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分

證法二：∵，，且，

        ∴≤      ①

        當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào).   …………………………………11分

∴≤      ②

        當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào).   …………………………………12分

       ①+②，得

      （）≤，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào). ……………………………………13分

∴≤.………………………………………14分

   證法三：可先證≤.   ………………………………………11分

           ∵，

           ，≥，……………………………12分

           ∴≥，

∴≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). ………………13分

          令，，即得

          ≤，

         當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào). ………………………14分

21:解：（1）數(shù)表中前行共有個(gè)數(shù)，

即第i行的第一個(gè)數(shù)是 …… 2分     ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                          …… 4分

令,  解得．            …… 6分

（2）∵

．                 …… 7分

∴．                   

當(dāng)時(shí), , 則;

當(dāng)時(shí), , 則;

當(dāng)時(shí), , 則;

當(dāng)時(shí), 猜想: .          …… 11分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

① 當(dāng)時(shí),, 即成立;

② 假設(shè)當(dāng)時(shí), 猜想成立, 即,  則,∵,

∴即當(dāng)時(shí)，猜想也正確.

由①、②得當(dāng)時(shí), 成立當(dāng)時(shí),.         …… 13分 綜上所述, 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí),.  …… 14分 另法( 證明當(dāng)時(shí), 可用下面的方法):

當(dāng)時(shí), C + C + C+ C