題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)P(3,4)點(diǎn),求a的值;
(2)比較大小,并寫(xiě)出比較過(guò)程;
(3)若,求a的值.
【解析】本試題主要考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用。第一問(wèn)中,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)P(3,4)點(diǎn),所以,解得,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159225008161918_ST.files/image007.png">,所以.
(2)問(wèn)中,對(duì)底數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論,利用單調(diào)性求解得到。
(3)中,由知,.,指對(duì)數(shù)互化得到,,所以,解得所以, 或 .
解:⑴∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)∴,即. … 2分
又,所以. ………… 4分
⑵當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),. ……………… 6分
因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921574878204718/SYS201206192159225008161918_ST.files/image021.png">,
當(dāng)時(shí),在上為增函數(shù),∵,∴.
即.當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),
∵,∴.即. …………………… 8分
⑶由知,.所以,(或).
∴.∴, … 10分
∴ 或 ,所以, 或 .
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對(duì)任意 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí),.
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:
第二問(wèn)中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時(shí),.
,
因?yàn)榍悬c(diǎn)為(), 則,
所以在點(diǎn)()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141419057564738_ST.files/image016.png">,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時(shí),在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時(shí),令,對(duì)稱(chēng)軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時(shí),在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時(shí),, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
如圖,,,…,,…是曲線上的點(diǎn),,,…,,…是軸正半軸上的點(diǎn),且,,…,,… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)寫(xiě)出、和之間的等量關(guān)系,以及、和之間的等量關(guān)系;
(2)求證:();
(3)設(shè),對(duì)所有,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)利用有,得到
第二問(wèn)證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立;②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,
得
第三問(wèn)
.………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即
解:(1)依題意,有,,………………4分
(2)證明:①當(dāng)時(shí),可求得,命題成立; ……………2分
②假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即有,……………………1分
則當(dāng)時(shí),由歸納假設(shè)及,
得.
即
解得(不合題意,舍去)
即當(dāng)時(shí),命題成立. …………………………………………4分
綜上所述,對(duì)所有,. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),最大為,即
.……………2分
由題意,有. 所以,
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