函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增.在單調(diào)遞增.又知函數(shù)在處連續(xù).因此在單調(diào)遞增.同理減區(qū)間的合并也是如此.即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同.且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù).則二區(qū)間就可以合并為一個區(qū)間. [例]用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)()的單調(diào)區(qū)間. 解:(用第一種關(guān)系及單調(diào)區(qū)間的合并).當(dāng).即或時.∴在.上為增函數(shù).又∵在處連續(xù).且相鄰區(qū)間的單調(diào)性又相同.∴在上為增函數(shù). 舊教材很少提到函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并.原因在于教師很難講.學(xué)生很難把握.但是新教材引進(jìn)函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)之后就很容易說明.也很容易理解了. 綜之.用導(dǎo)數(shù)證明劃分函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)最常用.也是最基本的應(yīng)用.其它重要性如極值.最值等都必須用到單調(diào)性.它比用單調(diào)性的定義證明要簡單許多.劃分也容易理解得多.討論可導(dǎo)函數(shù)得單調(diào)性可按如下步驟進(jìn)行: (1) 確定的定義域,(2)求.令.解方程求分界點(diǎn), (3)用分屆點(diǎn)將定義域分成若干個開區(qū)間, (4)判斷在每個開區(qū)間內(nèi)的符號.即可確定的單調(diào)性. 以下是前幾年高考用導(dǎo)數(shù)證明.求單調(diào)性的題目.舉例說明如下: 例1設(shè).是上的偶函數(shù). (I)求的值,(II)證明在上是增函數(shù). 解:(I)依題意.對一切有.即. ∴對一切成立.由此得到..又∵.∴. (II)證明:由.得. 當(dāng)時.有.此時.∴在上是增函數(shù). 例2設(shè)函數(shù).其中. (I)解不等式,(II)證明:當(dāng)時.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù). 解1:(I)分類討論解無理不等式. 解2:(i)當(dāng)時.有.此時.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).但.因此.當(dāng)且僅當(dāng)時.. (ii)當(dāng)時.解不等式.得.在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).解方程.得或. ∵. ∴當(dāng)且僅當(dāng)時.. 綜上.(I)當(dāng)時.所給不等式的解集為:, 當(dāng)時.所給不等式的解集為:. (II)當(dāng)且僅當(dāng)時.函數(shù)在區(qū)間上時單調(diào)函數(shù). 例3設(shè).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解:() 當(dāng).時. .. (i)當(dāng)時.對所有.恒有.即.此時在單調(diào)遞增, (ii)當(dāng)時.對.恒有.即.此時在單調(diào)遞增.在單調(diào)遞增. 又知函數(shù)在處連續(xù).因此在單調(diào)遞增, (iii)當(dāng)時.令.即. 解得或.因此.函數(shù)在單調(diào)遞增.在單調(diào)遞增.令.即. 解得. 因此.函數(shù)在上單調(diào)遞減. 本題用傳統(tǒng)作差比較法無法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.只有用導(dǎo)數(shù)才行. 【查看更多】

 

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