16．下列5個正方體圖形中.l是正方體的一條對角線.點M.N.P分別為其所在棱的中點.能得出⊥面MNP的圖形的序號是 ．(寫出所有符合要求的圖形序號) [分析] 本題以正方體為依托.主要考查直線與平面垂直的判定.比較深刻地考查了空間想象能力． 為了得到本題答案.必須對5個圖形逐一進(jìn)行判別．對于給定的正方體.位置固定.截面MNP變動.與面MNP是否垂直.可從正.反兩方面進(jìn)行判斷．在MN.NP.MP三條線中.若有一條不垂直.則可斷定與面MNP不垂直,若有兩條與都垂直.則可斷定⊥面MNP,若有的垂面∥面MNP.也可得⊥面MNP． 解法1 作正方體如附圖.與題設(shè)圖形對比討論．在附圖中.三個截面都是對角線的垂面． 對比圖①.由MP∥BD,.故得⊥面MNP． 對比圖②.由MN與面相交.而過交點且與垂直的直線都應(yīng)在面內(nèi).所以MN不垂直于.從而不垂直于面MNP． 對比圖③.由MP與面相交.知不垂直于MN.故不垂直于面MNP． 對比圖④.由MN∥BD.故⊥面MNP． 對比圖⑤.面MNP與面EFGHKR重合.故⊥面MNP． 綜合得本題的答案為①④⑤． 解法2 如果記正方體對角線所在的對角截面為α．各圖可討論如下: 在圖①中.MN.NP在平面α上的射影為同一直線.且與垂直.故⊥面MNP．事實上.還可這樣考慮:在上底面的射影是MP的垂線.故⊥MP,在左側(cè)面的射影是MN的垂線.故⊥MN.從而⊥面MNP． 在圖②中.由MP⊥面α.可證明MN在平面α上的射影不是的垂線.故不垂直于MN．從而不垂直于面MNP． 在圖③中.點M在α上的射影是的中點．點P在α上的射影是上底面的內(nèi)點.知MP在α上的射影不是的垂線.得不垂直于面MNP． 在圖④中.平面α垂直平分線段MN.故⊥MN．又在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對角線)與MP垂直.從而⊥MP.故⊥面MNP． 在圖⑤中.點N在平面α上的射影是對角線的中點.點M.P在平面α上的射影分別是上.下底面對角線的4分點.三個射影同在一條直線上.且與這一直線垂直．從而⊥面MNP． 至此.得①④⑤為本題答案． 解法3 如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)正方體的棱長為2.則對角線的方向向量可取為 對圖①.有 對圖②.有 對圖③.有 對圖④.有 對圖⑤.有 綜合得本題答案為①④⑤． 從解法3可以看到,應(yīng)用向量法討論兩直線是否垂直十分方便.操作也比較簡單.無須多動腦筋.只需要計算正確即可． [答案] ①④⑤ 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列5個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是________(寫出所有符合要求的圖形序號)．

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下列5個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是（    ）．（寫出所有符合要求的圖形序號）

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