21．已知常數(shù)a>0.向量c=．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0.a)以i-2λc方向向量的直線相交于點(diǎn)P.其中λ∈R．試問(wèn):是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E.F.使得|PE|+|PF|為定值．若存在.求出E.F的坐標(biāo),若不存在.說(shuō)明理由． [命題意圖] 本題主要考查平面向量的概念和向量的線性運(yùn)算.根據(jù)已知條件求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.并討論軌跡曲線的性質(zhì).著重考查直線.圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí).以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力． 試題用向量的形式給出兩條相交直線的條件.圍繞交點(diǎn)P提出個(gè)一個(gè)探索性的問(wèn)題:討論是否存在兩個(gè)定點(diǎn).使得點(diǎn)P到這兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為一定值．在這里.點(diǎn)P因?qū)崝?shù)λ的變化而動(dòng)．考生在審題時(shí).必須自覺(jué)理解到問(wèn)題的這個(gè)特點(diǎn).具備“運(yùn)動(dòng)變化 和“動(dòng)中求靜 的辯證法的思想和觀點(diǎn).只有這樣才能有效破題.獲得問(wèn)題的解答．可見(jiàn)試題重在考查思維和分析的能力．同時(shí).該題的設(shè)計(jì).圍繞平面解析幾何的主體知識(shí).將傳統(tǒng)的坐標(biāo)法與向量法有機(jī)結(jié)合起來(lái).旨在考查綜合應(yīng)用能力． [解題思路] 有關(guān)存在性問(wèn)題的討論.許多時(shí)候可用構(gòu)造法.這是一種基本的.而且也是比較原始的方法．就本題而言.即假設(shè)符合要求的定點(diǎn)存在.依題意列寫(xiě)出定點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程.進(jìn)而探求方程的解是否存在．依此思路.由于未知量比較多.方程的列寫(xiě)也難以簡(jiǎn)明.因而推演起來(lái)工作量大.而且繁雜．顯然采用構(gòu)造法絕非上策.宜另謀出路． 從試題的實(shí)際出發(fā).聯(lián)想廣泛可用的知識(shí).才能獲得有效的求解思路和方法．題設(shè)的點(diǎn)P是兩條動(dòng)直線的交點(diǎn).隨著λ取遍實(shí)數(shù)集R中所有的值.點(diǎn)P的集合是一條軌跡曲線．另一方面.到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為一定值的點(diǎn)之集合可能有兩種情況:其一.當(dāng)定值大于兩個(gè)定點(diǎn)的距離時(shí).該點(diǎn)集是橢圓曲線,其二.當(dāng)定值等于兩個(gè)定點(diǎn)的距離時(shí).該點(diǎn)集是連結(jié)兩點(diǎn)的線段．由于平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和不可能小于兩定點(diǎn)的距離.所以也就不可能出現(xiàn)第三種情況．由這樣的思考.可得解題思路如下: 從求點(diǎn)P的軌跡方程入手.進(jìn)而討論軌跡曲線的性質(zhì).便可獲得本題的答案． 由題設(shè).可作圖觀察．圖中.向量直線分別過(guò)點(diǎn)O和A.其方向向量分別為c+λi和i-2λc.點(diǎn)P是的交點(diǎn)．為了求點(diǎn)P的軌跡方程.可采用不同的方法．在這里.有一點(diǎn)值得注意的是:試題本身并沒(méi)有要求考生求點(diǎn)P的軌跡方程.我們是借助軌跡的思想.只須求出點(diǎn)P的坐標(biāo)所應(yīng)滿足的方程.進(jìn)而展開(kāi)討論.而無(wú)須檢驗(yàn)滿足方程的每一個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是符合題意的點(diǎn)P.也即無(wú)須要求所得方程的純粹性.與嚴(yán)格意義上的求軌跡方程有所不同． 解法1 因?yàn)?c+λi=, i-2λc==, 所以 直線OP與AP的方程分別為 λy=ax y-a=-2λax, 式中.a>0,λ∈R． 整理得 因?yàn)閍>0,所以得: (i)當(dāng)時(shí).方程①是圓方程.故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F, (ii)當(dāng)時(shí).方程①表示橢圓.故焦點(diǎn)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn), (iii)時(shí).方程①也表示橢圓.故焦點(diǎn)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)． 解法2 依題設(shè).有實(shí)數(shù)m和n滿足 所以點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為 整理得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程 以下的討論同解法1．此處從略． [命題意圖] 本小題主要考查數(shù)列.等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法.同時(shí)考查抽象推理等理性思維能力． 數(shù)學(xué)高考中較難的數(shù)列解答題.一般都是給出一個(gè)遞推關(guān)系.通過(guò)它或者轉(zhuǎn)化為等差.等比數(shù)列.或者通過(guò)由特殊到一般的猜想.歸納.或者通過(guò)順次迭代.以求出其通項(xiàng)．而試題的難度則由給出的遞推關(guān)系與初始值來(lái)調(diào)整．2002年的數(shù)列解答題給出相鄰四項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系.較為新穎.2003年定位于回歸到考生較為熟悉的相鄰兩項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系.基本遞推關(guān)系為“ ．理科試題改變以往給出初始值的做法.給出常數(shù)證明數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.這種提問(wèn)方式反映出新的考查角度.不讓考生死套題型.有利于考查獨(dú)立思考能力和理性思維能力.對(duì)文科考生則降低抽象思維的要求.遞推關(guān)系簡(jiǎn)化為基本形式“ .并給出初始值a=1.使試題難度較為切合文科考生的實(shí)際． [解題思路] 常規(guī)方法是通過(guò)遞推關(guān)系的變形轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.但過(guò)程較繁.用數(shù)學(xué)歸納法或迭代方法較順暢． 當(dāng)n=1時(shí).由已知等式成立, 時(shí)等式成立.即 也就是說(shuō).當(dāng)n=k+1時(shí).等式也成立． 根據(jù).可知等式對(duì)任何正整數(shù)n成立． 證法4順次迭代 (i)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,-時(shí).①式即為 ②式對(duì)k=1,2,-都成立.有 (ii)當(dāng)n=2k,k=1,2,-時(shí).①式即為 ③式對(duì)k=1,2,-都成立.有 [以下同解法1] 解法3 下面證明當(dāng) (i)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,-時(shí). (ii)n=2k,k=1,2-時(shí). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（03年新課程高考）已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R.試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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(本小題滿分12分)已知常數(shù)a > 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對(duì)任意n ?? a , 證明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n)

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已知常數(shù)a>0，n為正整數(shù)，fn（x）=xn-（x+a）n（x>0）是關(guān)于x的函數(shù)，
（1）判定函數(shù)fn（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）對(duì)任意n≥a，證明fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。

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已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，a）以i-2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R，試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值。若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

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（本小題滿分6分）

已知函數(shù),( a>0 ,a≠1,a為常數(shù))

(1).當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的定義域；

(2).當(dāng)a>1時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

(3).當(dāng)a>1時(shí)，若f(x)在上恒取正值，求a應(yīng)滿足的條件。

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