如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是A₁B₁、CC₁的中點(diǎn)，過(guò)D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G．
（Ⅰ）求證：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方體被平面D₁EGF所截得的幾何體ABGEA₁-DCFD₁的體積．

如圖，已知面PBC⊥矩形ABCD所在平面，△PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，且E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)；
（1）求證：EF∥平面PBC；
（2）點(diǎn)G在PD上移動(dòng)，求證：EF⊥CG；
（3）求三棱錐C-BEF的體積．

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是正方形BCC₁B₁的中心，點(diǎn)F，G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)E₁，G₁分別是點(diǎn)E，G在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影．
（1）求以E為頂點(diǎn)，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；
（2）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（3）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1．P，Q分別是棱DD₁，CD的中點(diǎn)．
（1）證明：AC₁⊥平面A₁BD；PQ∥平面A₁BD；
（2）探究：在棱B₁C₁上是否存在點(diǎn)M，使得二面角M-BD-A₁的大小為45°？若存在，則求出B₁M的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．