若函數(shù)在定義域內存在區(qū)間，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”？若是，求出；若不是，說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問中，利用定義，判定由題意得，由，所以

第二問中， 由題意得方程有兩實根

設所以關于m的方程在有兩實根，

即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點，從而得到t的范圍。

解（I）由題意得，由，所以     （6分）

（II）由題意得方程有兩實根

設所以關于m的方程在有兩實根，

即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點。

方程x²+x－1＝0的解可視為函數(shù)y＝x+的圖像與函數(shù)y＝的圖像交點的橫坐標，若x⁴+ax－4＝0的各個實根x₁，x₂，…，x_k (k≤4)所對應的點(x_i ,)（i＝1,2,…,k）均在直線y＝x的同側，則實數(shù)a的取值范圍是      。

已知函數(shù)則方程的解為____________；若關于x的方有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是____________。

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)依次在處取到極值.求的取值范圍；

（Ⅱ）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立.求正整數(shù)的最大值.

【解析】第一問中利用導數(shù)在在處取到極值點可知導數(shù)為零可以解得方程有三個不同的實數(shù)根來分析求解。

第二問中，利用存在實數(shù)，使對任意的，不等式 恒成立轉化為，恒成立，分離參數(shù)法求解得到范圍。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

轉化為存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

設，則.

設，則，因為，有.

故在區(qū)間上是減函數(shù)。又

故存在，使得.

當時，有，當時，有.

從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.

又[來源:]

所以當時，恒有；當時，恒有；

故使命題成立的正整數(shù)m的最大值為5