題目列表(包括答案和解析)

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3、下列說法中,不正確的是(   )

   A、函數(shù)的值域中的每個數(shù)都有原象

   B、定義域和值域分別相等的兩函數(shù)是同一函數(shù)

   C、定義域和對應(yīng)法則分別相同的兩函數(shù)是同一函數(shù)

   D、函數(shù)的定義域只含一個元素,則值域也只有一個元素

試題詳情

2、下列四組函數(shù)中,表示同一函數(shù)是(    )

   A、

   B、

   C、

   D、

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                     A組

1、已知,則f[f(-1)] 的值等于(    )

   A、2    B、3    C、4    D、5

試題詳情

4、評價:檢驗與評價結(jié)果是否符合實際。

例9.已知f(x+1)=x2-3x+2,

  (1)求f(x);

  (2)求f(x-a)+f(x+a)

[探路]換元法:用湊法換元或設(shè)法換元。

[解法一]

  (1)改寫已知等式,并且湊法:

    f(t+1)=t2-3t+2=(t+1)2-5t+1=(t+1)2-5(t+1)+6,

    ∴f(x)=x2-5x+6

  (2)f(x-a)+f(x+a)=(x-a)2-5(x-a)+6+(x+a)2-5(x+a)+6

               =2x2-10x+2a2+12

[解法二]

   (1)把已知等式改寫為

            f(t+1)=t2-3t+2

        設(shè) t+1=x,則t=x-1

    f(x)=(x-1)2-3(x-1)+2=x2-5x+6

    即f(x)=x2-5x+6

   (2)同“解法一”

[評注]

   解法一是“湊法”,解法二是“設(shè)法”,它們都是換元法。選用哪個方法要由題目的條件來確定,

   如本題解法二較好。但下面的例2用解法二(設(shè)法)卻是不好的。

例10.已知,求f(x)和f(-3)。

[探路]

   用湊法換元。

[解]把已知式先改寫,并用湊法:

   

   ∴

   ∴f(-3)=-3(9-3)=-18

[評注]

   本題用“設(shè)法”,即“設(shè),解出t”是不好的,請你試試看。

例11.求下列函數(shù)的定義域:

   (1);  (2)

[解](1)

    ∴函數(shù)的定義域是(-∞,-3)∪(-3,-1] ∪[4,+∞)。

    (2)

      ∴函數(shù)的定義域是(-2,2)∪(2,+∞)

[評注]

   在(1)中,解|x+1|-2≠0得x≠1 , x≠-3,如果寫成“x≠1,x≠-3”,這是錯誤的;應(yīng)寫成

   “x≠1,x≠3”。這是一個重要的邏輯思維問題,不要用錯邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”。寫出

   上面的x{1,-3}是最好的。

   在(2)中,解時,先解方程,經(jīng)檢驗x=-1是增根,應(yīng)舍去。

   所以得x≠2。

   求定義域最關(guān)鍵問題是列出自變量可取值的充要條件組。在解析式上,目前應(yīng)記準(zhǔn)列條件組的下述

   法則:

   有分式--分母非零;

   有偶次根式--被開方式非負(fù);

   有零指數(shù)冪--底非零。

例12.(1)已知y=f(x)的定義域是[-1,2],求函數(shù)y=f(x+1)-f(x-1)的定義域。

    (2)已知y=f(1-2x)的定義域是[-1,2],求函數(shù)y=f(x)的定義域。

[探路]

   利用函數(shù)的符號意義來求其自變量的取值范圍。先改寫已知定義域的函數(shù)的自變量。

[解]

   (1)∵f(t)的定義域是[-1,2],

     ∴-1≤t≤2。

    對于函數(shù)y=f(x+1)-f(x-1)使f(t)有意義,應(yīng)有

     ,

   ∴函數(shù)y=f(x+1)-f(x-1)的定義域是[0,1]。

   (2)∵f(1-2t)的定義域是[-1,2]

     ∴-1≤t≤2

     ∴-3≤1-2t≤3

      對于函數(shù)f(x)的自變量x=1-2t∈[-3,3]

   ∴函數(shù)y=f(x)的定義域是[-3,3]

[評注]

   本題就是“抽象問題”,求抽象函數(shù)的定義域要由函數(shù)符號的意義來確定,其關(guān)鍵是抓住“誰是自

   變量”,求定義域就是求自變量的取值范圍。以本題之(2)為例:首先要弄清f(1-2x)和f(x)是兩個

   不同的函數(shù);因為它們的自變量都表示為x,為了防止混淆,把已知函數(shù)f(1-2x)改寫為f(1-2t),這

   樣函數(shù)f(1-2t)的自變量為t∈[-1,2].所求函數(shù)f(x)的自變量為x,再由x=1-2t , t∈[-1 , 2],求

   得x∈[-3,3],即得f(x)的定義域。函數(shù)y=f(1-2t)是函數(shù)y=f(x)和函數(shù)x=1-2t的“復(fù)合”。中學(xué)

   所遇到的“抽象函數(shù)問題”就是這種復(fù)合函數(shù)的符號問題。

例13.求函數(shù)的值域。

[探路]用“不等式法”或“反解法”。

[解法一]用“不等式法”:

   

   由x≠3得≠0(即)

   ∴y≠2,即得函數(shù)y的值域:{y|y∈R,且y≠2}。

[解法二]用“反解法”,即“解x法”:

   

         ①

     關(guān)于自變量x的方程①有x≠3的解y≠2,

     ∴函數(shù)y的值域是{y|y∈R,且y≠2}

[評注]

   “不等式法”,已在前面說過,通過本例加以熟練。

   “反解法”就是把函數(shù)y=f(x) , x∈A(A是定義域)等價地化為關(guān)于自變量x的方程,求值域就是求

該方程在定義域上有解的充要條件。但不必求出x,只要用各種方法消去x,用y表出這個充要條件,即可

解得值域。當(dāng)這個充要條件可用判別式表出,那么,這種“反解法”就叫做“判別式法”。當(dāng)這個充要條

件不能用判別式表出,即是判別式法失效!

例14.求函數(shù)的值域。

[探路]用“判別式法”

[解]該函數(shù)的定義域A=R

   

                  ①

  (1)當(dāng)y=0時,①x=0∈A(定義域),∴有y=0 

  (2)當(dāng)y≠0時,①有實數(shù)解△=1-4y2≥0(y≠0)

     Û。

    由(1)和(2),得函數(shù)值域為[]。

[評注]

   判別式法應(yīng)用在二次方程中,所以應(yīng)注意討論方程①是否為二次方程,因此本題要分類討論。

   本題“判別式法”有效,是因為二次方程①的根x∈R,沒有限制。對于根x有限制的二次方程,△≥0

只是有實數(shù)根的必要條件,還要補加其它條件,使之成為充要條件才能求得值域,否則,要改用其他方法。

例15.求函數(shù)的值域。

[探路]用換元法,設(shè),則x可用t的有理式表示,從而化為二次函數(shù)的值域問題。

[解]設(shè),則t∈[0,+∞),x=1+t2

    ∴

    ∴

    ∴函數(shù)的值域是[)。

[評注]

   用換元法,必須注意:不但解析式要完全化為新元的函數(shù),而且要求出新元的取值范圍(新函數(shù)的定

   義域),即建立完整的新函數(shù)。如本例的新函數(shù)是,t∈[0,+∞],否則,換元不等

   價,容易造成錯誤。

例16.x為何值時,|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|的值最?并求出這個最小值。

[探路]

   顯然,這是求函數(shù)。

    f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|

   的值域問題。用分類法(零點劃分)是可以解決的,但要分為五種情況(分段函數(shù)),太麻煩了,

   于是想用圖象法來解,試試看,能不能非常簡單,還有沒有更妙的解法?

[解法一]

   (圖象法)這個函數(shù)的圖象是折線,其最小值必在折點上取得,于是計算四個折點的函數(shù)值:

   f(1)=7 , f(2)=5 , f(3)=5 , f(5)=9

   ∴f(x)的最小值為5,當(dāng)x∈[2,3]時取得。

[解法三](利用絕對值的幾何意義)畫數(shù)軸:

   

   設(shè)動點P的坐標(biāo)為x,A、B、C、D的坐標(biāo)分別為1、2、3、5,則f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|

                             =|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=d

   由圖可知,當(dāng)點P在線段BC上時,取得d0=|BC|+|AD|=1+4=5;當(dāng)點P在線段BC的兩側(cè)延長線上時d>d0,

   ∴當(dāng)x∈[2,3]時,取得f(x)min=5。

[評注]解法一是圖象法,但無需畫圖,其圖象是開口向上的折線,在解題者的想象之中。

    解法二是“圖解法”--畫數(shù)學(xué)式的幾何圖,圖解法包括圖象法。由本題,我們看到圖解法包括:

   (1)圖象法;(2)圖示法--畫幾何圖或示意圖

       圖解法是數(shù)形結(jié)合法。

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3、求解;

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2、建立目標(biāo)函數(shù),如本例目標(biāo)函數(shù)是求最值的矩形面積;

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例1:下列對應(yīng)是不是從A到B的映射?是不是函數(shù)?

   (1)A=(-∞,+∞),B=(0,+∞),  f∶x→y=|x|

   (2)A={x|x≥0}, B=R, f∶x→y, y2=x.

   (3)A={x|x≥2, x∈Z}, B={y|y≥0, y∈Z}, f∶x→y=x2-2x+2.

   (4)A={平面α內(nèi)的矩形},B={平面α內(nèi)的圓},f∶作矩形的外接圓。

[探路] 

   按映射的特點:A中每一元素都有象,且象唯一來判別;按函數(shù)的特點;A、B都是非空數(shù)集的映射來

   判別。

[解]

   (1)不是映射,因為0∈A,但|0|=0∈B,當(dāng)然,(1)更不是函數(shù)。

   (2)不是映射,更不是函數(shù)。因為,當(dāng)x>0時,元素x的象不唯一。

   (3)是映射。因為,又當(dāng)x∈A時,y∈Z,所以(3)是映射。又因為A、B都是數(shù)集,

     所以(3)也是函數(shù)。

   (4)是映射。因為每一個矩形都有唯一的外接圓,即A中每一元素在B中都有唯一的象,所以

    (4)是映射。但A、B不是數(shù)集,所以不是函數(shù)。

例2:已知映射f∶A→B,其中,集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B的元素都是A中元素在映射f下

   的象,且對任意的a∈A,在B中和它對應(yīng)的元素是|a|,則集合B中元素的個數(shù)是(    )

   A、4    B、5    C、6    D、7

[探路]該映射是函數(shù),問題化為求函數(shù)的值域。

[解]已知映射f∶A→B是函數(shù)

     f(x)=|x|,定義域A={-3,-2,-1,1,2,3,4},且B是值域,求值域,得

    B={3,2,1,4},其元素的個數(shù)是4,因此,選A。

[評注]

   用映射的概念來深刻理解函數(shù),反之,用函數(shù)的方法來解映射的問題,這是把概念與操作相結(jié)合的現(xiàn)

   代觀點,在本例,用具體的函數(shù)來操作映射是最快的算法,而不在概念中兜圈子。

例3:已知函數(shù)

   求f[f(1)]和f[f(-1)]的值。

[探路]分段計算。

[解]∵

    ∴

    ∵

    ∴

例4:下列哪組函數(shù)是同一函數(shù)?為什么?

   ①

   ②

   ③

   ④

[解]

   ①是同一函數(shù),因為對應(yīng)法則等價:。

   ②不是同一函數(shù),因為定義域不相等:前一函數(shù)的定義域是[1,+∞]后一函數(shù)的定義域是

    。

   ③不是同一函數(shù),因為定義域不相等:前一函數(shù)的定義域是[0,+∞);后一函數(shù)的定義域是

   (-∞,+∞)。本題也可按值域不相等直接看出。

   ④不是同一函數(shù)。因為定義域不相等:前一函數(shù)的定義域為R;后一函數(shù)定義

    域為。

例5:作出函數(shù)的圖象。

[探路]

   先把函數(shù)化為分段函數(shù),再畫圖

[解]已知函數(shù)化為

  

   其圖象如圖2。

[評注]

   這類函數(shù)的圖象是折線,因此,還有畫圖快法:先求折點,即各絕對值等于零的點,如本題折點有

   兩個:(-1,6)、(2,3);再求一兩個適當(dāng)點畫兩邊的射線,連折點間的線段,即成圖。

例6:設(shè)集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2},

   (1)從A到B的映射有多少個?

   (2)從B到A的映射有多少個?

[探路]

   根據(jù)“什么叫映射”來做一個映射:先算每一元素的象有幾種可能,然后就能算出共能做出多少個不

   同的映射。

[解]

   (1)作a1的象有b1或b22種方法,同樣作a2,a3的象也各有2種方法,所以從A到B的映射,

     共有2×2×2=8個。

   (2)從B到A的映射共有3×3=9個。

例7:《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定,公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅,

   超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額。此項稅款按下表分段累進(jìn)計算。

全月應(yīng)納稅所得額
稅率
不超過500元的部分
5%
超過500元至2000元的部分
10%
超過2000元至5000元的部分
15%
 
 

   (1)某人今年十月份工薪為4000元,問他應(yīng)納稅多少元?

   (2)某人去年十月份納稅26.78元,問他去年十月份的工薪為多少元?

[探路]利用分段函數(shù)進(jìn)行計算。

[解](1)該人全月納稅所得額為

     4000元-800元=3200元

     他應(yīng)納稅:500元×5%+1500元×10%+1200元×15%=355元。

     (2)工薪1300元應(yīng)納稅:500元×5%=25元;

         工薪2800元應(yīng)納稅:25元+1500元×10%=175元。

        ∵26.78∈(25,175),

      ∴他去年十月份的工薪為1300元+(26.78-25)元×元。

例8:將長為l厘米的鐵絲折成矩形,問怎樣折才能使矩形的面積最大?并求出這個最大面積。

[探路]選取自變量,建立面積函數(shù),注意定義域,求出值域,便得最大值。

[解]設(shè)折成的矩形的一邊長為xcm,面積為Scm2,

   則 

   當(dāng)時,取得

   ∴將鐵絲折成邊長為的正方形時,面積最大,最大面積為

[評注]這種解決應(yīng)用問題的方法叫“目標(biāo)函數(shù)法”,其步驟是:

1、選取自變量,并確定定義域;

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5.圖象法。

[評注]

   函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則確定以后,值域就被完全確定,然而求出值域卻是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題,沒

   有包求所有函數(shù)值域的萬能方法,只能靠自己不斷地總結(jié)和發(fā)現(xiàn)它。今后,隨著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的豐富,

   解題也積累了經(jīng)驗,你將學(xué)會許多求值域的方法,但要注意總結(jié)和掌握最基本的通法。我們暫時學(xué)會

   上面的五個方法,并且只能采取“例中學(xué)”的方法。由于例題較多,暫不列舉,請在下面的《B級》

   中學(xué)習(xí)求值域的范例。

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4.反解法、判別式法。

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3.換元法、配方法。

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