題目列表(包括答案和解析)
【2012高考江蘇26】(10分)設(shè)集合,
.記
為同時滿足下列條件的集合
的個數(shù):
①;②若
,則
;③若
,則
。
(1)求;
(2)求的解析式(用
表示).
某市投資甲、乙兩個工廠,2011年兩工廠的產(chǎn)量均為100萬噸,在今后的若干年內(nèi),甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬噸,乙工廠第年比上一年增加
萬噸,記2011年為第一年,甲、乙兩工廠第
年的年產(chǎn)量分別為
萬噸和
萬噸.
(Ⅰ)求數(shù)列,
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若某工廠年產(chǎn)量超過另一工廠年產(chǎn)量的2倍,則將另一工廠兼并,問到哪一年底,其中哪一個工廠被另一個工廠兼并.
【解析】本試題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用。
第一問由題得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98
第二問,考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查用數(shù)列解決實(shí)際問題,其步驟是建立數(shù)列模型,進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果,再反饋到實(shí)際中去解決問題.由于比較兩個工廠的產(chǎn)量時兩個函數(shù)的形式較特殊,不易求解,故采取了列舉法,數(shù)據(jù)列舉時作表格比較簡捷.
解:(Ⅰ)由題得an=10n+90,bn=100+2+22+23+…+2n-1=100+2(1-2n-1)/ 1-2 =2n+98……6分
(Ⅱ)由于n,各年的產(chǎn)量如下表
n 1 2 3 4 5 6 7 8
an 100 110 120 130 140 150 160 170
bn 100 102 106 114 130 162 226 354
2015年底甲工廠將被乙工廠兼并
一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.
(I)從袋中隨機(jī)抽取一個球,將其編號記為,然后從袋中余下的三個球中再隨機(jī)抽取一個球,將其編號記為
.求關(guān)于
的一元二次方程
有實(shí)根的概率;
(II)先從袋中隨機(jī)取一個球,該球的編號為m,將球放回袋中,然后再從袋中隨機(jī)取一個球,該球的編號為n.若以 作為點(diǎn)P的坐標(biāo),求點(diǎn)P落在區(qū)域
內(nèi)的概率.
【解析】第一問利用古典概型概率求解所有的基本事件數(shù)共12種,然后利用方程有實(shí)根,則滿足△=4a2-4b2≥0,即a2≥b2。,這樣求得事件發(fā)生的基本事件數(shù)為6種,從而得到概率。第二問中,利用所有的基本事件數(shù)為16種。即基本事件(m,n)有:(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1)
(3,2) (3,3)
(3,4) (4,1) (4,2) (4,3)
(4,4)共16種。在求解滿足
的基本事件數(shù)為(1,1) (2,1) (2,2) (3,1) 共4種,結(jié)合古典概型求解得到概率。
(1)基本事件(a,b)有:(1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3)共12種。
∵有實(shí)根, ∴△=4a2-4b2≥0,即a2≥b2。
記“有實(shí)根”為事件A,則A包含的事件有:(2,1) (3,1)
(3,2) (4,1) (4,2) (4,3) 共6種。
∴PA.= 。 …………………6分
(2)基本事件(m,n)有:(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)共16種。
記“點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)”為事件B,則B包含的事件有:
(1,1) (2,1) (2,2) (3,1) 共4種。∴PB.=
某省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時刻
(時) 的關(guān)系為
,其中
是與氣象有關(guān)的參數(shù),且
.
(1)令,
,寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并選擇其中一種情形進(jìn)行證明;
(2)若用每天的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù),并記作
,求
;
(3)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2,試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)?
【解析】第一問利用定義法求證單調(diào)性,并判定結(jié)論。
第二問(2)由函數(shù)的單調(diào)性知,
∴,即t的取值范圍是
.
當(dāng)時,記
則
∵在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,
第三問因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時,
.
故當(dāng)時不超標(biāo),當(dāng)
時超標(biāo).
改革開放以來,我國高等教育事業(yè)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展,有人記錄了某村到
年十年間每年考入大學(xué)的人數(shù).為方便計(jì)算,
年編號為
,
年編號為
,…,
年編號為
.?dāng)?shù)據(jù)如下:
年份( |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
人數(shù)( |
3 |
5 |
8 |
11 |
13 |
14 |
17 |
22 |
30 |
31 |
(1)從這年中隨機(jī)抽取兩年,求考入大學(xué)的人數(shù)至少有
年多于
人的概率;
(2)根據(jù)前年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出
關(guān)于
的回歸方程
,并計(jì)算第
年的估計(jì)值和實(shí)際值之間的差的絕對值。
【解析】(1)設(shè)考入大學(xué)人數(shù)至少有1年多于15人的事件為A則P(A)=1-=
(4’)
(2)由已知數(shù)據(jù)得=3,
=8,
=3+10+24+44+65=146
=1+4+9+16+25=55(7’)
則=
,
(9’)
則回歸直線方程為y=2.6x+0.2 (10’)
則第8年的估計(jì)值和真實(shí)值之間的差的絕對值為
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