題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若對(duì)任意
,
,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】第一問利用的定義域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
第二問中,若對(duì)任意不等式
恒成立,問題等價(jià)于
只需研究最值即可。
解: (I)的定義域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是
........4分
(II)若對(duì)任意不等式
恒成立,
問題等價(jià)于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函數(shù)極小值點(diǎn),這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn),
故也是最小值點(diǎn),所以; ............6分
當(dāng)b<1時(shí),;
當(dāng)時(shí),
;
當(dāng)b>2時(shí),;
............8分
問題等價(jià)于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是
函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且
。
(1)求實(shí)數(shù)a,b,并確定函數(shù)的解析式;
(2)判斷在(-1,1)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(3)寫出的單調(diào)減區(qū)間,并判斷
有無(wú)最大值或最小值?如有,寫出最大值或最小值。(本小問不需要說(shuō)明理由)
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式和奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用。第一問中,利用函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),且
。
解得,
(2)中,利用單調(diào)性的定義,作差變形判定可得單調(diào)遞增函數(shù)。
(3)中,由2知,單調(diào)減區(qū)間為,并由此得到當(dāng),x=-1時(shí),
,當(dāng)x=1時(shí),
解:(1)是奇函數(shù),
。
即,
,
………………2分
,又
,
,
,
(2)任取,且
,
,………………6分
,
,
,
,
,
在(-1,1)上是增函數(shù)。…………………………………………8分
(3)單調(diào)減區(qū)間為…………………………………………10分
當(dāng),x=-1時(shí),,當(dāng)x=1時(shí),
。
D
[解析] 依題意得0<a<1,于是由f(1-)>1得loga(1-
)>logaa,0<1-
<a,由此解得1<x<
,因此不等式f(1-
)>1的解集是(1,
),選D.
已知向量(
),向量
,
,
且.
(Ⅰ)求向量;
(Ⅱ)若
,
,求
.
【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算,以及兩角和差的三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用。
(1)問中∵,∴
,…………………1分
∵,得到三角關(guān)系是
,結(jié)合
,解得。
(2)由,解得
,
,結(jié)合二倍角公式
,和
,代入到兩角和的三角函數(shù)關(guān)系式中就可以求解得到。
解析一:(Ⅰ)∵,∴
,…………1分
∵,∴
,即
① …………2分
又 ② 由①②聯(lián)立方程解得,
,
5分
∴ ……………6分
(Ⅱ)∵即
,
, …………7分
∴,
………8分
又∵, ………9分
, ……10分
∴.
解法二: (Ⅰ),…………………………………1分
又,∴
,即
,①……2分
又 ②
將①代入②中,可得 ③ …………………4分
將③代入①中,得……………………………………5分
∴ …………………………………6分
(Ⅱ) 方法一
∵,
,∴
,且
……7分
∴,從而
. …………………8分
由(Ⅰ)知,
; ………………9分
∴. ………………………………10分
又∵,∴
,
又
,∴
……11分
綜上可得 ………………………………12分
方法二∵,
,∴
,且
…………7分
∴.
……………8分
由(Ⅰ)知,
.
…………9分
∴
……………10分
∵,且注意到
,
∴,又
,∴
………………………11分
綜上可得 …………………12分
(若用,又∵
∴
,
設(shè)是直角坐標(biāo)系中,x軸、y軸正方向上的單位向量,設(shè)
(1)若(,求
.
(2)若時(shí),求
的夾角
的余弦值.
(3)是否存在實(shí)數(shù),使
,若存在求出
的值,不存在說(shuō)明理由.
【解析】第一問中,利用向量的數(shù)量積為0,解得為m=-2
第二問中,利用時(shí),結(jié)合向量
的夾角
的余弦值公式解得
第三問中,利用向量共線,求解得到m不存在。
(1)因?yàn)樵O(shè)是直角坐標(biāo)系中,x軸、y軸正方向上的單位向量,設(shè)
(2)因?yàn)?/p>
即;
(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù),使
,則有
因此不存在;
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