題目列表(包括答案和解析)
已知是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,
是等比數(shù)列,且
,
.
(Ⅰ)求數(shù)列與
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,
,證明
(
).
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列
的公比為q.
由,得
,
,
.
由條件,得方程組,解得
所以,
,
.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:數(shù)學(xué)歸納法)
① 當(dāng)n=1時(shí),,
,故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),有:
即,因此n=k+1時(shí)等式也成立
由①和②,可知對(duì)任意,
成立.
改革開(kāi)放以來(lái),我國(guó)高等教育事業(yè)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展,有人記錄了某村到
年十年間每年考入大學(xué)的人數(shù).為方便計(jì)算,
年編號(hào)為
,
年編號(hào)為
,…,
年編號(hào)為
.?dāng)?shù)據(jù)如下:
年份( |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
人數(shù)( |
3 |
5 |
8 |
11 |
13 |
14 |
17 |
22 |
30 |
31 |
(1)從這年中隨機(jī)抽取兩年,求考入大學(xué)的人數(shù)至少有
年多于
人的概率;
(2)根據(jù)前年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出
關(guān)于
的回歸方程
,并計(jì)算第
年的估計(jì)值和實(shí)際值之間的差的絕對(duì)值。
【解析】(1)設(shè)考入大學(xué)人數(shù)至少有1年多于15人的事件為A則P(A)=1-=
(4’)
(2)由已知數(shù)據(jù)得=3,
=8,
=3+10+24+44+65=146
=1+4+9+16+25=55(7’)
則=
,
(9’)
則回歸直線方程為y=2.6x+0.2 (10’)
則第8年的估計(jì)值和真實(shí)值之間的差的絕對(duì)值為
已知.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí),
恒成立;
(3)任取兩個(gè)不相等的正數(shù),且
,若存在
使
成立,證明:
.
【解析】(1)g(x)=lnx+,
=
(1’)
當(dāng)k0時(shí),
>0,所以函數(shù)g(x)的增區(qū)間為(0,+
),無(wú)減區(qū)間;
當(dāng)k>0時(shí),>0,得x>k;
<0,得0<x<k∴增區(qū)間(k,+
)減區(qū)間為(0,k)(3’)
(2)設(shè)h(x)=xlnx-2x+e(x1)令
= lnx-1=0得x=e, 當(dāng)x變化時(shí),h(x),
的變化情況如表
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+ |
|
|
- |
0 |
+ |
h(x) |
e-2 |
|
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)
2x-e
(5’)
設(shè)G(x)=lnx-(x
1)
=
=
0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),
=0所以G(x) 為減函數(shù), 所以G(x)
G(1)=0, 所以lnx-
0所以xlnx
(x
1)成立,所以f(x)
,綜上,當(dāng)x
1時(shí), 2x-e
f(x)
恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴l(xiāng)nx0+1=
=
∴l(xiāng)nx0=
-1
∴l(xiāng)nx0 –lnx
=
-1–lnx
=
=
=
(10’) 設(shè)H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數(shù),并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t)
<H(1)=0∵
∴
=
∴l(xiāng)nx0 –lnx>0, ∴x0 >x
已知點(diǎn)為圓
上的動(dòng)點(diǎn),且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線段
中點(diǎn)
的軌跡為曲線
,過(guò)定點(diǎn)
任作一條與
軸不垂直的直線
,它與曲線
交于
、
兩點(diǎn)。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn)
,使得
總能被
軸平分
【解析】第一問(wèn)中設(shè)為曲線
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
第二問(wèn)中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線
總有兩個(gè)公共點(diǎn).
然后設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
得到。
(1)設(shè)為曲線
上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
. ………………2分
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直線與曲線
總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓
的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設(shè)點(diǎn),
的坐標(biāo)分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
當(dāng)時(shí),(*)對(duì)任意的s都成立,從而
總能被
軸平分.
所以在x軸上存在定點(diǎn),使得
總能被
軸平分
設(shè)函數(shù),其中常數(shù)
(1)討論的單調(diào)性
(2)若當(dāng)時(shí),
恒成立,求
的取值范圍
【解析】(1)求導(dǎo)、分解,討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),(2)只要最小值大于0,求a的范圍。
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