18．[解]連結(jié)BD.因?yàn)锽1B⊥平面ABCD.B1D⊥BC.所以BC⊥BD.又因?yàn)橹本�B1D與平面ABCD所成的角等于30°.所以 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖，在四棱錐S-ABCD中，∠ADB=90°，AD=BD=1，SA⊥平面ABCD，∠ASB=30°，E、F分別是SD、SC上的動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是SB、SC上的動(dòng)點(diǎn)，且
SE
SD
=
SF
SC
=λ，
SM
SB
=
SN
SC
=μ．
（I）當(dāng)λ，μ有何關(guān)系時(shí)，ME⊥平面SAD？并證明你的結(jié)論；
（II）在（I）的條件下且μ=
1
2
時(shí)，求三棱錐S-AME的體積．

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如圖，菱形ABCD中，∠DAB=，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，PO=AD=，點(diǎn)E在PD上，PE：ED=3：1.

(Ⅰ)證明：PD⊥平面EAC；

(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值；

(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面PDC的距離.

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如圖，菱形ABCD中，∠DAB=60°，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，PO=AO=，點(diǎn)E在PD上，PE：ED=3：1．

(Ⅰ)證明：PD上平面置EAC；

(Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值；

(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面PDC的距離．

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

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把正方形ABCD沿其對(duì)角線AC折成二面角DACB后，連結(jié)BD，得到如圖所示的幾何體，已知點(diǎn)O、E、F分別為線段AC、AD、BC的中點(diǎn)。

（I）求證：AB//平面EOF；

（II）求二面角EOFB的大小。

 

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