證明不等式: [必做題]第22題.第23題.每題10分.共計20分. 請在答題紙指定區(qū)域內作答.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知，函數（其中為自然對數的底數）．

  （Ⅰ）求函數在區(qū)間上的最小值；

  （Ⅱ）設數列的通項，是前項和，證明：．

【解析】本試題主要考查導數在研究函數中的運用，求解函數給定區(qū)間的最值問題，以及能結合數列的相關知識，表示數列的前n項和，同時能構造函數證明不等式的數學思想。是一道很有挑戰(zhàn)性的試題。

 

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把函數的圖象按向量平移得到函數的圖象．　

(1)求函數的解析式； (2)若，證明：.

【解析】本試題主要考查了函數 平抑變換和運用函數思想證明不等式。第一問中，利用設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入　，便可以得到結論。第二問中，令，然后求導，利用最小值大于零得到。

(1)解：設上任意一點為（x,y）則平移前對應點是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

(2) 證明：令，……6分

則……8分

,∴,∴在上單調遞增．……10分

故，即

 

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已知函數的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實數的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域為

由，得

當x變化時，，的變化情況如下表：

x

-

0

+

極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當時，取，有，故時不合題意.當時，令，即

令，得

①當時，，在上恒成立。因此在上單調遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當時，，對于，，故在上單調遞增.因此當取時，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當n=1時，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當時，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上，，

 

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由下列不等式：，，， ，，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明。

【解析】本試題主要考查了合情推理的數學思想，關鍵是觀察到表達式的特點，以及運用數學歸納法證明不等式的重要的數學思想。

 

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集合A1，A2，A3，…，An為集合M={1，2，3，…，n}的n個不同的子集，對于任意不大于n的正整數i，j滿足下列條件：
①i∉Ai，且每一個Ai至少含有三個元素；
②i∈Aj的充要條件是j∉Aj（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數表（即n×n數表），規(guī)定第i行第j列數為：aij=
0   當i∉AJ時
1        當i∈AJ時  
．
（1）該表中每一列至少有多少個1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請完成下面7×7數表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數式表示n×n數表中1的個數f（n），并證明n≥7；
（3）設數列{an}前n項和為f（n），數列{cn}的通項公式為：cn=5an+1，證明不等式：
5cmn
-
cmcn
＞1對任何正整數m，n都成立．（第1小題用表）
1 2 3 4 5 6 7
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0

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第 一 部 分

 

一、填空題：

1．        2．          3．1            4．16

5．                                 6．               7．64           8．

9．25                                 10．①④            11．        12．

13．                          14．

二、解答題：

15．解：（Ⅰ）依題意：，

即，解之得，（舍去）   …………………7分

（Ⅱ），∴  ，，  ………………………9分

∴    …………………………………11分

．      ……………………………………………14分

16．解：（Ⅰ）因為主視圖和左視圖均為矩形、所以該三棱柱為直三棱柱．

連BC1交B1C于O，則O為BC1的中點，連DO。

則在中，DO是中位線，

∴DO∥AC1．                ………………………………………………………4分

∵DO平面DCB1，AC1平面DCB1，

∴AC1∥平面CDB1．           ………………………………………………………7分

（Ⅱ）由已知可知是直角三角形，．

∵  ，

∴  平面，平面，

∴   。

∵   ，

∴  平面，

又平面，

∴  。

17．解：（Ⅰ）由題意知：，

一般地： ，…4分

∴  （）。……………………………………7分

（Ⅱ）2008年諾貝爾獎發(fā)獎后基金總額為：

 ，…………………………………………10分

2009年度諾貝爾獎各項獎金額為萬美元， ………12分

與150萬美元相比少了約14萬美元。     …………………………………………14分

答：新聞 “2009年度諾貝爾獎各項獎金高達150萬美元”不真，是假新聞�！�15分

18．解：（Ⅰ）圓與軸交點坐標為，

，，故，    …………………………………………2分

所以，

橢圓方程是：               …………………………………………5分

（Ⅱ）設直線與軸的交點是，依題意，

即,

,

,

,

 

（Ⅲ）直線的方程是，…………………………………………………6分

圓D的圓心是，半徑是，……………………………………………8分

設MN與PD相交于，則是MN的中點，且PM⊥MD，

……10分

當且僅當最小時，有最小值，

最小值即是點到直線的距離是，…………………12分

所以的最小值是。  ……………………………15分

 

19．解：（Ⅰ）點的坐標依次為，，…，

，…，           ……………………………2分

則，…，

若共線；則，

即，

即， ……………………………4分

，

，

所以數列是等比數列。          ……………………………………………6分

（Ⅱ）依題意，

，

兩式作差，則有：，   ………………………8分

又，故，   ……………………………………………10分

即數列是公差為的等差數列；此數列的前三項依次為

，

由，可得，

故，或，或。           ………………………………………12分

數列的通項公式是，或，或。    ………14分

由知，時，不合題意；

時，不合題意；

時，；

所以，數列的通項公式是。  ……………………………………16分

 

20．解：（Ⅰ）函數定義域，

，    ……………………………………………4分

（Ⅱ），由（Ⅰ）

，，

，單調遞增，

所以。

設，

則，

即，也就是。

所以，存在值使得對一個，方程都有唯一解。………10分

（Ⅲ），

，

以下證明，對的數及數，不等式不成立。

反之，由，亦即成立，

因為，，

但，這是不可能的。這說明是滿足條件的最小正數。

這樣不等式恒成立，

即恒成立，

∴  ，最小正數=4 �！�16分

 

 第二部分（加試部分）

21．（A）解：AD2=AE?AB，AB=4，EB=3      ……………………………………4分

△ADE∽△ACO，                ……………………………………………8分

CD=3                         ……………………………………………10分

（B）解：（Ⅰ），

所以點在作用下的點的坐標是。…………………………5分

（Ⅱ），

設是變換后圖像上任一點，與之對應的變換前的點是，

則，

也就是，即，

所以，所求曲線的方程是�！�10分

（C）解：由已知圓的半徑為，………4分

又圓的圓心坐標為，所以圓過極點，

所以，圓的極坐標方程是�！�10分

（D）證明：

＜            ……………………………………6分

=2－

＜2                              ……………………………………10分

 

 

 

22．解：（Ⅰ）∵，∴，

∴切線l的方程為，即．……………………………………………4分

（Ⅱ）令＝0，則．令＝0，則x＝1．

 ∴A＝＝＝．………………10分

23．解：（Ⅰ）記“該生在前兩次測試中至少有一次通過”的事件為事件A，則

P(A)=

答：該生在前兩次測試中至少有一次通過的概率為。 …………………………4分

（Ⅱ）參加測試次數的可能取值為2，3，4，

      ，

    ，

      ，    ……………………………………………7分

        故的分布列為：

2

3

4

     ……………………………………………10分

　

 

 


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