題目列表(包括答案和解析)
“a=1”是“函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)”的
(A).充分不必要條件 (B). 必要不充分條件
(C). 充要條件 (D). 既不充分也不必要條件
已知函數(shù)。
(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若對任意x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(III)設(shè)F(x)=,曲線y=F(x)上是否總存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為鈍角柄點(diǎn)的鈍角三角開,且最長邊的中點(diǎn)在y軸上?請說明理由。
(1)求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望;
(2)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.
1-10:DCDAABCBCDC
11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .
1.函數(shù)的定義域是,解得x≥1,選D.
2.向量若時(shí),∥,∴ ;時(shí),,,選C.
3.的展開式中的系數(shù)=x3, 則實(shí)數(shù)的值是2,選D
4.過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面,若OA與該截面所成的角是60°,則截面圓的半徑是R=1,該截面的面積是π,選A.
5.若“”,則函數(shù)=在區(qū)間上為增函數(shù);而若在區(qū)間上為增函數(shù),則0≤a≤1,所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件,選A.
6.在數(shù)字1,2,3與符號“+”,“-”五個(gè)元素的所有全排列中,先排列1,2,3,有種排法,再將“+”,“-”兩個(gè)符號插入,有種方法,共有12種方法,選B.
7.圓的圓心為(2,2),半徑為3,圓心到到直線的距離為>3,圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是2R =6,選C.
8.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)的圖象C的一個(gè)對稱中心,若點(diǎn)P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值,∴ 最小正周期為π,選B.
9.過雙曲線的左頂點(diǎn)(1,0)作斜率為1的直線:y=x-1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn), 聯(lián)立方程組代入消元得,∴ ,x1+x2=2x1x2,又,則B為AC中點(diǎn),2x1=1+x2,代入解得,∴ b2=9,雙曲線的離心率e=,選D.
10.如圖,OM∥AB,點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界).且,
由圖知,x<0,當(dāng)x=-時(shí),即=-,P點(diǎn)在線段DE上,=,=,而<<,∴ 選C.
二.填空題:
11.; 12. 85; 13. 5 ; 14. 6 ; 15. -3 .
11.?dāng)?shù)列滿足:,2,3…,該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列,∴ .
12.某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班. 其中甲班有40人,乙班50人. 現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績,算得甲班的平均成績是90分,乙班的平均成績是81分,則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是分.
13.已知,如圖畫出可行域,得交點(diǎn)A(1,2),B(3,4),則的最小值是5.
14.過三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有6條。
15.是偶函數(shù),取a=-3,可得為偶函數(shù)。
16. 解 由已知條件得.
即.
解得.
由0<θ<π知,從而.
17. 解。á瘢┟考颐旱V必須整改的概率是1-0.5,且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的. 所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.
(Ⅱ)解法一 某煤礦被關(guān)閉,即該煤礦第一次安檢不合格,整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,所以該煤礦被關(guān)閉的概率是,從而煤礦不被關(guān)閉的概率是0.90.
解法二 某煤礦不被關(guān)閉包括兩種情況:(i)該煤礦第一次安檢合格;(ii)該煤礦第一次安檢不合格,但整改后合格.
所以該煤礦不被關(guān)閉的概率是.
(Ⅲ)由題設(shè)(Ⅱ)可知,每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9,且每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的,所以到少關(guān)閉一家煤礦的概率是.
18. 解法一 (Ⅰ)連結(jié)AC、BD,設(shè).
由P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)由題設(shè)知,ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
所以
于是.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)由(Ⅱ),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,-,0),,
,設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量,由
得.
取x=1,得.
所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.
解法二。á瘢┤D的中點(diǎn),連結(jié)PM,QM.
因?yàn)镻-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,
所以AD⊥PM,AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.
又平面PQM,所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.
因?yàn)镺A=OC,OP=OQ,所以PAQC為平行四邊形,AQ∥PC.
從而∠BPC(或其補(bǔ)角)是異面直線AQ與PB所成的角.
因?yàn)椋?/p>
所以.
從而異面直線AQ與PB所成的角是.
(Ⅲ)連結(jié)OM,則.
所以∠PMQ=90°,即PM⊥MQ.
由(Ⅰ)知AD⊥PM,所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長是點(diǎn)P到平面QAD的距離.
在直角△PMO中,.
即點(diǎn)P到平面QAD的距離是.
19. 解。á瘢┯深}設(shè)知.
令.
當(dāng)(i)a>0時(shí),
若,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù);
若,則,所以在區(qū)間上是減函數(shù);
若,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù);
(i i)當(dāng)a<0時(shí),
若,則,所以在區(qū)間上是減函數(shù);
若,則,所以在區(qū)間上是減函數(shù);
若,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù);
若,則,所以在區(qū)間上是減函數(shù).
(Ⅱ)由(Ⅰ)的討論及題設(shè)知,曲線上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值,且函數(shù)在處分別是取得極值,.
因?yàn)榫段AB與x軸有公共點(diǎn),所以.
即.所以.
故.
解得 -1≤a<0或3≤a≤4.
即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,0)∪[3,4].
20. 解。á瘢┯梢阎,
.
(Ⅱ)因?yàn)椋?/p>
所以.
又因?yàn)椋?/p>
所以
=.
綜上,.
21. 解。á瘢┊(dāng)AB⊥x軸時(shí),點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱,所以m=0,直線AB的方程為
x=1,從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,)或(1,-).
因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,所以,即.
此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),該焦點(diǎn)不在直線AB上.
(Ⅱ)解法一 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí),由(Ⅰ)知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為.
由消去y得. ……①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),
則x1,x2是方程①的兩根,x1+x2=.
所以,且
.
從而.
所以,即.
解得.
因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以.
即.
當(dāng)時(shí),直線AB的方程為;
當(dāng)時(shí),直線AB的方程為.
解法二 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí),由(Ⅰ)知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程
為.
由消去y得. ……①
因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,
所以,即.代入①有.
即. ……②
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),
則x1,x2是方程②的兩根,x1+x2=.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的兩根,所以x1+x2=.
從而=. 解得.
因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上,所以.
即.
當(dāng)時(shí),直線AB的方程為;
當(dāng)時(shí),直線AB的方程為.
解法三 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),
因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn),又是過C2的焦點(diǎn),
所以.
即. ……①
由(Ⅰ)知,于是直線AB的斜率, ……②
且直線AB的方程是,
所以. ……③
又因?yàn)椋? ……④
將①、②、③代入④得,即.
當(dāng)時(shí),直線AB的方程為;
當(dāng)時(shí),直線AB的方程為.
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