如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

(08年東城區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一理)（14分）

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直線B₁C與平面ABC成30°角.

   （I）求證：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；

   （II）求直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值；

   （III）求二面角B―B₁C―A的大小.

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC.

（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小

【解析】解法一：因為底面ABCD為菱形，所以BDAC,又

（08年崇文區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一）（14分）

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點.

   （I）求AC₁與平面B₁BCC₁所成角的正切值；

   （II）求證：AC₁∥平面B₁DC；

   （III）已知E是A₁B₁的中點，點P為一動點，記PB₁=x. 點P從E出發(fā)，沿著三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路線運動到點A，求這一過程中三棱錐P―BCC₁的體積表達式V（x）.

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC。

（I）     證明PC平面BED；

（II）   設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小

【解析】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用。

從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度，并加以證明和求解。

解法一：因為底面ABCD為菱形，所以BDAC,又

【點評】試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時練習(xí)的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題，那么創(chuàng)新的地方就是點E的位置的選擇是一般的三等分點，這樣的解決對于學(xué)生來說就是比較有點難度的，因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好。