已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為e，右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)E為右準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，∠AEF₂的最大值為θ．
（1）若雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁（-4，0），一條漸近線的方程為3x-2y=0，求雙曲線的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如圖，如果直線l與雙曲線的交點(diǎn)為P、Q，與兩條漸近線的交點(diǎn)為P'、Q'，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：

OP

+

OQ

=

OP′

+

OQ′

．

（2011•徐匯區(qū)三模）定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C1：

x2

4

+y2=1．
（1）若橢圓C2：

x2

16

+

y2

4

=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓C_b的方程；若在橢圓C_b上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍？
（3）如圖：直線l與兩個(gè)“相似橢圓”

x2

a2

+

y2

b2

=1和

x2

a2

+

y2

b2

=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，證明：|AC|=|BD|