19．(理)已知實數a同時滿足下列兩個條件: 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)

已知函數f(x)=alnx,(a∈R)g(x)=x2，記F(x)=g(x)-f(x)

（Ⅰ）判斷F(x)的單調性；

（Ⅱ）當a≥時，若x≥1，求證：g(x-1)≥f()；

（Ⅲ）若F(x)的極值為，問是否存在實數k，使方程g(x)-f(1+x2)=k有四個不同實數根？若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由。

 

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一、選擇題

1―12  CBDBA  ACCAD  BA

二、填空題

13．    14．   15．（理）   （文）16．②④

三、解答題

17．解（1）設向量的夾角

則

…………………………………………2分

當

向量的夾角為；…………………………4分

當

向量的夾角為；……………………6分

（2）|對任意的恒成立，

即,

對任意的恒成立。

即恒成立……………………8分

所以…………………………10分

解得：

故所求實數的取值范圍是………………12分

18．（理）解：（1）的取值為1，3。

又…………………………1分

…………………………3分

的分布列為

1

3

P

 

…………………………5分

………………………………6分

（2）當S8=2時，即前8分鐘出現“紅燈”5次和“綠燈”3次，有已知 若第一、三分鐘出現“紅燈”，則其余六分鐘可出現“紅燈”3次………………8分

若第一、二分鐘出現“紅燈”，第三分鐘出現“綠燈”，則其后五分鐘可出現“紅燈”3次…………………………10分

故此時的概率為……………………12分

（文）解：（1）若第一個路口為紅燈，則第二個路口為綠燈的概率為

；…………………………2分

若第一個路口為綠燈，則第二個路口為綠燈的概率為…………4分

∴經過第二個路口時，遇到綠燈的概率是…………6分

（2）若第一個路口為紅燈，其它兩個路口為綠燈的概率為

；…………………………8分

若第二個路口為紅燈，其它兩個路口為綠燈的概率為：

………………………………10分

若第三個路口為紅燈，其它兩個路口為綠燈的概率為：

…………………………11分

∴經過三個路口，出現一次紅燈，兩次綠燈的概率是………………12分

19．（理）解：（1）求滿足條件①的a的取值范圍，

函數的定義域為取任意實數時，

即…………………………2分

解得：a<1…………………………3分

求滿足條件②的a的取值范圍

設……………………4分

由可得，

說明：當

又當

∴對任意的實數x，恒有…………………………6分

要使得x取任意實數時，不等式恒成立，

須且只須…………………………7分

由①②可得，同時滿足條件（i）、（ii）的實數a的取值范圍為：

…………………………8分

（2）

……………………10分

即

∴不等式的解集是：

…………………………12分

（文）解：（1）…………4分

（2）解法一  ………………6分

因為，所以……………………00分

解得：………………12分

解法二：當x=0時，恒成立；………………5分

當x>0時，原式或化為，………………9分

因為時取等號）………………11分

    • 
   
    
    
    
    
    
    20．解法一：（1）連結AC，交BD于0，
    則O為AC的中點，連結EO。
    ∵PA//平面BDE，平面PAC平面BDE=OE，
    ∴PA//OE…………………………2分
    ∴點E是PC的中點。…………………………3分
    （2）∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD，
    ∴PD⊥DC，△PDC是等腰直角三角形，……………………4分
    而DE是斜邊PC的中線，
    ∴DE⊥PC，  ①
    又由PD⊥平面ABCD得，PD⊥BC�！�6分
    ∵底面ABCD是正方形，CD⊥BC，
    ∴BC⊥平面PDC，
    而DE平面PDC，
    ∴BC⊥DE   ② ……………………7分
    由①和②推得DE⊥平面PBC，而PB平面PBC
    ∴DE⊥PB，又DF⊥PB且DEDF=D，
    所以PB⊥平面EFD，…………………………8分
    （3）由（2）知，PB⊥EF，已知PB⊥DF，故∠EFD是二面角C―PB―D的平面角，
    ………………9分
    由（2）知，DF⊥EF，PD⊥DB。
    設正方形ABCD的邊長為a，則PD=DC=a，BD=
    ……………………10分
    在Rt△EFD中，
    所以，二面角C―PB―D的大小為……………………12分
     
    解法二：（1）同解法一……………………3分
    （2）如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，
    設DC=a，依題意得
    P（0，0，a），B（a,a,0），C（0，a，0   ），
    E（0， ），A（a，0，0），D（0，0，0），
    ………………4分
    …………………………6分
    由已知DF⊥PB，且DFDE=D，
    所以PB⊥平面EFD�！�8分
    （3）由（2）得
    設平面PBC的法向量為n=（x，y，z），
    m為平面PBD的法向量，由
    及得
    平面PBD
    又因為二面角C―PB―D為銳角，所以其大小為……………………12分
    21．解：設
    因為兩準線與x軸的交點分別為
     ……………………1分
    由題意知
    ………………………………3分
    則點N的坐標為N（），
    即N………………………………4分
    所以………………5分
    則………………………………6分
           當x≠0時，代入，=得：=……………………8分
           所以，
           即                                                               …………………10分
           當x=0時，點P的坐標為P（0，），
           點M的坐標滿足條件：=
           點M的坐標滿足條件：=
           顯然推出與已知雙曲線中≠0矛盾。
           所以P點的軌跡方程為.（x≠0，y≠0）      ……………………12分
    22．解：
       （1）由………2分
           所以，
    即所求數列{an}的通項公式為………………4分
       （2）若n為奇數，則…………5分
           =……………………7分
           =4-3                                                                             …………………9分
           若n為偶數，則………………10分
           =            …………………12分
           =4-4                                                                               …………………14分
     
     
    		
    
	
	
    
		
    


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