題目列表(包括答案和解析)
(14分)已知函數(shù)f(x)=在定義域內(nèi)為奇函數(shù),
且f(1)=2,f()=;
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)用定義證明f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù);
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如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中,平面,,,.
⑴求證:;
⑵求直線與平面所成的角;
⑶設(shè)點(diǎn)在棱上,,
若∥平面,求的值.
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設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說明理由.
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等差數(shù)列{}前n項和為,滿足,則下列結(jié)論中正確的是( )
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對于給定數(shù)列,如果存在實常數(shù),使得對于任意都成立,我們稱數(shù)列是 “類數(shù)列”.
(Ⅰ)已知數(shù)列是 “類數(shù)列”且,求它對應(yīng)的實常數(shù)的值;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式.并判斷是否為“類數(shù)列”,說明理由.
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一、A卷:AADCB DCCCB AA
二、(13)160;(14)6π;(15)8;(16)①②③
三、(17)解:(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[sin(x+]2=[g(x)]2
由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1
∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1 ……………………………………………3分
∵-
∴x+=0,或x+=,或x+=
x=-或x=0或x=
所求x值的集合為{-,0,} …………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得
2kπ+≤x≤2kπ+ …………………………………………………………9分
∵-≤x≤且x≠-,
∴≤x≤
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[,] ………………………………………12分
18.解:所獲利潤為3000元時,所生產(chǎn)的產(chǎn)品一件為二等品,另一件不能達(dá)到一、二等品,所求概率為:P1=2×0.2×0.05=0.02 ………………………………………6分
所獲利潤不低于14000元,所生產(chǎn)的產(chǎn)品一件為一等品,一件為二等品,或兩件均為一等品,所求概率為:P2=2×0.75×0.2+0.752=0.8625 ……………………12分
19.解法一:(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD,∴OD為PD在平面ABCD內(nèi)的射影
又ABCD為菱形,∴AC⊥OD,∴AC⊥PD,即PD⊥AC
在菱形ABCD中,∵∠DAB=60°,
∴OD=AO?cot60°=1
在Rt△POD中,PD=,由PE:ED=3:1,得
DE=又∠PDO=60°,
∴OE2+DE2=OD2,∴∠OED=90°,即PD⊥OE
PD⊥平面EAC …………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=,易知OE為AC的垂直平分線,所以∠AEC=2∠AEO,
∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO
= ………………………………………8分
(Ⅲ)由O為BD中點(diǎn),知點(diǎn)B到平面PDC的距離等于點(diǎn)O到平面PDC距離的2倍,由(Ⅰ)知,平面OEC⊥平面PDC,作OH⊥CE,垂足為H,則OH⊥平面PDC,在Rt△OEC中,∠EOC=90°,OC=
∴OH=
所以點(diǎn)B到平面PDC的距離為 ……………………………………………12分
解法二:建 立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz,其中A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,).
(Ⅰ)由PE:ED=3:1,知E(-)
∵
∴
∴PD⊥OE,PD⊥AC,∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角
∵
∴cos∠AEC=cos<……………………………………………8分
(Ⅲ)由O為BD中點(diǎn)知,點(diǎn)B到平面PDC的距離為點(diǎn)O到平面PDC距離的2倍
又,cos∠OED=cos<
所以點(diǎn)B到平面PDC的距離
d=2………………………………………………12分
20.解:(Ⅰ)依題意,設(shè)f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)
當(dāng)a>0時,則f(-4)=18,f(-2)=-18,∴
解得a=1,b= -18…………………………………………………………………………3分
當(dāng)a<0時,則f(2)=18,f(-4)=-
解得a=-1,b=18
∴所求解析式為f(x)=x2-4x-14或f(x)=-x2+4x+14……………………………………6分
(Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b
f′(x)=2ax-4a
∵f′=-2,∴2a-4a=-2,∴a=1……………………………………………………………8分
∴f(1)=1+b,f(3)=1+b即A(1,1+b),B(3,1+b)
f′(3)=6a-4a=2
設(shè)l1、l2的方程為:y-(1+b)=-2(x-1)
y-(1+b)=2(x-3)
上式聯(lián)立解得y=b-1
即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為b-1
∴△ABC的AB邊上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2
又|AB|=2
∴△ABC的面積S=|AB|?h=2……………………………………………………12分
21.解:(Ⅰ)在(n+1)an-nan+1=2中,令n=1,得2a1-a2=2,∴a2=2a1-2=4再令n=2,得3a2-2a3=2,得a3=a2-1=5
∴a2=4,a3=5…………………………………………………………………………………3分
(Ⅱ)由(n+1)an-nan+1=2,得
∴
當(dāng)n≥2時,=
∴an=n+2
n=1時,a1=3也適合,∴an=n+2(n∩N*)…………………………………………8分
(Ⅲ)∵an+an+1=(n+2)+(n+3)=2n+5
∴(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)= …………………………12分
22.解:由已知,F(),雙曲線的漸近線y=±x的方向向量為v=(1,±1),當(dāng)l斜率k存在時,不失一般性,取A(,-1)、B(,1)、B(,1),則在v上的投影的絕對值為,不合題意………………………………………………2分
所以l的斜率k存在,其方程為y=k(x-).
由得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)
設(shè)A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),則x1+x2=………………6分
當(dāng)v=(1,1)時,設(shè)與v的夾角為θ,則=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的絕對值
=
=.
由,得2k2-5k+2=0,k=2或k=.
所以直線l的方程為y=±2(x-)或y=±.…………………12分
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