題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
某甲有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子；某乙也有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子.
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一個球，直到取到紅球為止，求甲取球次數(shù)
的數(shù)學期望；
（Ⅱ）若甲、乙兩人各從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.
（本小題滿分12分）
計算機考試分理論考試與上機操作考試兩部分進行，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”則計算機考試“合格”并頒發(fā)“合格證書”.甲、乙、丙三人在理論考試中合格的概率分別為
，
，
；在上機操作考試中合格的概率分別為
，
，
.所有考試是否合格相互之間沒有影響.
（Ⅰ）甲、乙、丙三人在同一次計算機考試中誰獲得“合格證書”可能性最大？
（Ⅱ）求這三人計算機考試都獲得“合格證書”的概率；
(Ⅲ)用
表示甲、乙、丙三人在理論考核中合格人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望
.
（本小題滿分12分）甲有一個裝有
個紅球、
個黑球的箱子，乙有一個裝有
個紅球、
個黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定:所取兩球同色時甲勝，異色時乙勝（，，，
）．
(Ⅰ)當
,時，求甲獲勝的概率；
（Ⅱ）當
，
時，規(guī)定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負得0分．求甲的得分期望達到最大時的，值；
（Ⅲ）當
時，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．
（本小題滿分12分）
甲、乙兩家網絡公司，1993年的市場占有率均為A，根據(jù)市場分析與預測，甲、乙公司自1993年起逐年的市場占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市場占有率都比前一年多
，乙公司自1993年起逐年的市場占有率如圖所示：
（I）求甲、乙公司第n年市場占有率的表達式；
（II）根據(jù)甲、乙兩家公司所在地的市場規(guī)律，如果某公司的市場占有率不足另一公司市場占有率的20%，則該公司將被另一公司兼并，經計算，2012年之前，不會出現(xiàn)兼并局面，試問2012年是否會出現(xiàn)兼并局面，并說明理由．
（本小題滿分12分）
2010年廣東亞運會，某運動項目設置了難度不同的甲、乙兩個系列，每個系列都有K
和D兩個動作，比賽時每位運動員自選一個系列完成，兩個動作得分之和為該運動員
的成績。假設每個運動員完成每個系列中的兩個動作的得分是相互獨立的，根據(jù)賽前
訓練統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某運動員完成甲系列和乙系列的情況如下表：
甲系列：
|
動作 |
K |
D |
||
|
得分 |
100 |
80 |
40 |
10 |
|
概率 |
|
|
|
|
乙系列：
|
動作 |
K |
D |
||
|
得分 |
90 |
50 |
20 |
0 |
|
概率 |
|
|
|
|
現(xiàn)該運動員最后一個出場，其之前運動員的最高得分為118分。
（1）若該運動員希望獲得該項目的第一名，應選擇哪個系列，說明理由，并求其獲得第一名的概率；
（2）若該運動員選擇乙系列，求其成績X的分布列及其數(shù)學期望EX．
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
理
A
C
B
D
A
C
B
C
C
B
B
D
文
D
C
B
D
B
C
B
C
C
B
A
D
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．（理）2 （文） 14．（理） （文）243 15． 16．（1，2）（2，3）
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．解： ????????????????????????????????????????????????????????? （2分）
由正弦定理得???????????????????????????????????????????? （4分）
??????????????????????????????????????????????????????????????? （5分）
??????????????????????????????????????????????? （6分）
???????????????????????????????????????????????????? （8分）
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （9分）
????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
18．（理）解：????????????????????????????????????????? （2分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （4分）
????????????????????????????????????????? （6分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
由此可知，，從而兩廠材料的抗拉強度指數(shù)平均水平相同，但甲廠材料相對穩(wěn)定，該選甲廠的材料。??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：記“甲第次試跳成功“為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得且相互獨立?????????????????????????????????????????????????????????????? （2分）
（I）“甲第三次試跳才成功”為事件，且三次試跳相互獨立，
。
答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件，
解法一：且彼此互斥，
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
解法二：
答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88
19．（I）證明：由直三棱柱性質知
又
???? …………………………………（理4分文6分）
（Ⅱ）以A為原點，分別為
軸，建立如圖的空間直角坐標系
直線
連結易知是平面的一個法向量，
=（0，1，-1），設為平面
的一個法向量，則
又
令得得
設二面角的大小為，則
二面角的大小為…………………………（理8分文12分）
（Ⅲ）又
點到平面的距離………………………（理12分）
20．（理）解：（I）
當，即時，在上單調遞增
???????????????????????????????????? （2分）
??????????????????????????????? （4分）
?????????????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）令
??????????? （7分）
??????????? （10分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：（I）因為邊所在直線的方程為
…………………………………（1分）
…………………………（4分）
（Ⅱ）由??????????????????????????? （5分）
????????????????????????????????????????????????? （6分）
???????????????????????????? （8分）
（Ⅲ）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，
所以，
即
故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支。
因為實半軸長半焦距
所以虛半軸長
從而動圓的圓心的軌跡方程為????????????????????????? （12分）
21．（理）
解法一：（I）如圖,設把代入得
，由韋達定理得???????????????????????? （2分）
點的坐標為???????????????????????????????? （3分）
設拋物線在點處的切線的方程為
將代入上式得
（Ⅱ）
由（I）知
???????????????????? （9分）
??????????????????? （11分）
?????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
解法二：（I）設
??????????????????????? （2分）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （4分）
????????????????????? （6分）
（Ⅱ）
由（I）知
則
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：（I）
?????????????????????????????????????????????????????????? （3分）
由于，故當時達到其最小值，即
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）
列表如下：
+
0
-
0
+
極大值
極小值
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
由此可見，在區(qū)間和單調增加，在區(qū)間單調減小，
極小值為極大值為?????????????????????????????????????????????? （12分）
22． 解：
（I）????????????????????????????????????????????????? （2分）
（Ⅱ）由（I）知
……
???????????????????????????????????????????? （5分）
????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
（文）（Ⅲ）
???????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（理）（Ⅲ）
?????????????????????????????????? （12分）
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