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設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程，有實(shí)數(shù)根②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足.
(I) 若函數(shù)為集合M中的任意一個(gè)元素，證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
(II) 判斷函數(shù)是否是集合M中的元素,并說明理由；
(III) 設(shè)函數(shù)為集合M中的任意一個(gè)元素，對(duì)于定義域中任意，當(dāng),且時(shí),證明：.

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ABABD  DCAAD  AC

13. 2； 14.52； 15. ； 16 ，0    17. 或

18. 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,

    當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x

(－∞,－m)

－m

(－m,)

(,+∞)

f’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

極大值

極小值

從而可知，當(dāng)x=－m時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

19. 解：（1）由已知，，分別取，得，，，

；

所以數(shù)列的前5項(xiàng)是：，，，，；

（2）由（1）中的分析可以猜想．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即．

那么由已知，得，

即．所以，

即，又由歸納假設(shè)，得，

所以，即當(dāng)時(shí)，公式也成立．

當(dāng)①和②知，對(duì)一切，都有成立．

20. 解: (Ⅰ)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為，月平均銷售量為件，則月平均利潤(rùn)（元），

∴與的函數(shù)關(guān)系式為  .

(Ⅱ)由得，（舍）,

當(dāng)時(shí)；時(shí)，

∴函數(shù) 在取得最大值.

故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大.

21. 解：（1）因?yàn)椋? 

       所以滿足條件

       又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以方程有實(shí)數(shù)根0.

       所以函數(shù)是集合M中的元素.

     （2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根），

       則，

    不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)

       使得等式成立

       因?yàn)�，所�?/p>

       與已知矛盾，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

22. 解：(Ⅰ)，.∴直線的斜率為，且與函數(shù)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為.   ∴直線的方程為. 又∵直線與函數(shù)的圖象相切,

∴方程組有一解.  由上述方程消去，并整理得

         ①

依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

解之，得或       .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 

 .  .

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為2.

(Ⅲ) .

，  ， .

由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí)，   ∴當(dāng)時(shí)，，

.      ∴