題目列表(包括答案和解析)
(14分)已知,,直線與函數(shù)、的圖象都相切,且與函數(shù)的圖象的切點的橫坐標為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值;
(Ⅱ)若(其中是的導函數(shù)),求函數(shù)的最大值;
(Ⅲ)當時,求證:.
已知,,直線與函數(shù)、的圖象都相切,且與函數(shù)的圖象的切點的橫坐標為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值;
(Ⅱ)若(其中是的導函數(shù)),求函數(shù)的最大值;
(Ⅲ)當時,求證:.
已知,,直線與函數(shù)、的圖象都相切,且與圖象的切點為,則( )
A. B. C. D.
已知,,直線與函數(shù)、的圖象都相切,且與圖象的切點為,則( )
A. | B. | C. | D. |
已知,,直線與函數(shù)、的圖象都相切,且與函數(shù)的圖象的切點的橫坐標為.
(Ⅰ)求直線的方程及的值;
(Ⅱ)若(其中是的導函數(shù)),求函數(shù)的最大值;
(Ⅲ)當時,求證:.
ABABD DCAAD AC
13. 2; 14.52; 15. ; 16 ,0 17. 或
18. 解:(Ⅰ) f’(x)=3x2+2mx-m2=(x+m)(3x-m)=0,則x=-m或x=m,
當x變化時,f’(x)與f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-m)
-m
(-m,)
(,+∞)
f’(x)
+
0
-
0
+
f (x)
極大值
極小值
從而可知,當x=-m時,函數(shù)f(x)取得極大值9,
即f(-m)=-m3+m3+m3+1=9,∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2-4x+1,
依題意知f’(x)=3x2+4x-4=-5,∴x=-1或x=-.
又f(-1)=6,f(-)=,
所以切線方程為y-6=-5(x+1),或y-=-5(x+),
即5x+y-1=0,或135x+27y-23=0.
19. 解:(1)由已知,,分別取,得,,,
;
所以數(shù)列的前5項是:,,,,;
(2)由(1)中的分析可以猜想.
下面用數(shù)學歸納法證明:
①當時,猜想顯然成立.
②假設當時猜想成立,即.
那么由已知,得,
即.所以,
即,又由歸納假設,得,
所以,即當時,公式也成立.
當①和②知,對一切,都有成立.
20. 解: (Ⅰ)改進工藝后,每件產(chǎn)品的銷售價為,月平均銷售量為件,則月平均利潤(元),
∴與的函數(shù)關系式為 .
(Ⅱ)由得,(舍),
當時;時,
∴函數(shù) 在取得最大值.
故改進工藝后,產(chǎn)品的銷售價為元時,旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.
21. 解:(1)因為,
所以滿足條件
又因為當時,,所以方程有實數(shù)根0.
所以函數(shù)是集合M中的元素.
(2)假設方程存在兩個實數(shù)根),
則,
不妨設,根據(jù)題意存在數(shù)
使得等式成立
因為,所以
與已知矛盾,所以方程只有一個實數(shù)根.
22. 解:(Ⅰ),.∴直線的斜率為,且與函數(shù)的圖象的切點坐標為. ∴直線的方程為. 又∵直線與函數(shù)的圖象相切,
∴方程組有一解. 由上述方程消去,并整理得
①
依題意,方程①有兩個相等的實數(shù)根,
解之,得或 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
. .
∴當時,,當時,.
∴當時,取最大值,其最大值為2.
(Ⅲ) .
, , .
由(Ⅱ)知當時, ∴當時,,
. ∴
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