（2013•虹口區(qū)二模）定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)（I⊆D）的任意兩個(gè)數(shù)x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；
（2）如果函數(shù)f(x)=x2+

a

x

在

1，2

上是“凸函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于區(qū)間

c，d

上的“凸函數(shù)”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①證明：當(dāng)n=2^k（k∈N^*）時(shí)，f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②請(qǐng)?jiān)龠x一個(gè)與①不同的且大于1的整數(shù)n，
證明：f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：當(dāng) n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_n=n；當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_n=a_k；記sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
（1）求s₃；
（2）證明：s_n=4^n-1+s_n-1（n≥2）
（3）證明：

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜1-

1

4n

．

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xⁿ+yⁿ能被x+y整除，第二步的假設(shè)應(yīng)寫成．

數(shù)列{a_n}滿足a_n=

n，當(dāng)n=2k-1 ak，當(dāng)n=2k

（k∈N^*）．設(shè)f（n）=a₁+a₂+a₃+…+a2n-1+a 2n，則f（5）-f（4）=．