已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C；其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問中，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第二問中，

假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

則．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為（      ）

                                        

【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為，拋物線的準(zhǔn)線為，由,則,把坐標(biāo)代入雙曲線方程得，所以雙曲線方程為，即，所以，所以實(shí)軸長，選C.

 

閱讀下面材料：

    根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得

(Ⅰ)類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:

;

(Ⅱ)若的三個(gè)內(nèi)角滿足,試判斷的形狀．

(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)

 

閱讀下面材料：

根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (1) 類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:

;

 (2)若的三個(gè)內(nèi)角滿足,直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論試判斷的形狀.

 

（10分）如圖，這是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，（1）請你說明這個(gè)獎(jiǎng)杯是由哪些基本幾何體組成的；（2）求出這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積（列出計(jì)算式子，將數(shù)字代入即可，不必求出最終結(jié)果）.