已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時，，成立．

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，

當(dāng)時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．

 

（2009天津卷理）（本小題滿分14分）

已知等差數(shù)列{}的公差為d（d0），等比數(shù)列{}的公比為q（q>1）。設(shè)=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n     

若== 1，d=2，q=3，求  的值；

若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n；    

(Ⅲ)   若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個不同的排列， ，   證明。

本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。

（2009天津卷理）（本小題滿分14分）

已知等差數(shù)列{}的公差為d（d0），等比數(shù)列{}的公比為q（q>1）。設(shè)=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n     

若== 1，d=2，q=3，求  的值；

若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n；    

(Ⅲ)   若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個不同的排列， ，   證明。

本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。