如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

（本小題滿分14分）

閱讀下面一段文字：已知數(shù)列的首項(xiàng)，如果當(dāng)時(shí)，，則易知通項(xiàng)，前項(xiàng)的和. 將此命題中的“等號(hào)”改為“大于號(hào)”，我們得到：數(shù)列的首項(xiàng)，如果當(dāng)時(shí)，，那么，且. 這種從“等”到“不等”的類比很有趣。由此還可以思考：要證，可以先證，而要證，只需證（）. 結(jié)合以上思想方法，完成下題：

已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求證：.

學(xué)校要用三輛車從北湖校區(qū)把教師接到文廟校區(qū)，已知從北湖校區(qū)到文廟校區(qū)有兩條公路，汽車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；汽車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為，若甲、乙兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響。（I）若三輛車中恰有一輛車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率；（Ⅱ）在（I）的條件下，求三輛車中被堵車輛的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望。

【解析】第一問中，由已知條件結(jié)合n此獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可知，得

第二問中可能的取值為0，1，2，3  ，       

 ， 

從而得到分布列和期望值

解：（I）由已知條件得 ，即，則的值為。

 （Ⅱ）可能的取值為0，1，2，3  ，       

 ， 

   的分布列為：（1分）

 

	0	1	2	3

 

 

 

 

所以 

 

閱讀下面一段文字：已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2，則易知通項(xiàng)a_n=2n-1，前n項(xiàng)的和S_n=n²．將此命題中的“等號(hào)”改為“大于號(hào)”，我們得到：數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．這種從“等”到“不等”的類比很有趣．由此還可以思考：要證S_n＞n²，可以先證a_n＞2n-1，而要證a_n＞2n-1，只需證a_n-a_n-1＞2（n≥2）．結(jié)合以上思想方法，完成下題：
已知函數(shù)f（x）=x³+1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，求證：S_n≥2ⁿ-1．