設(shè)船速為v.顯然時(shí)人是不可能追上小船.當(dāng)km/h時(shí).人不必在岸上跑.而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船.因此只要考慮的情況.由于人在水中游的速度小于船的速度.人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕.當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí).人才能追上小船.設(shè)船速為v.人追上船所用 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

(2009•金山區(qū)二模)(1)設(shè)u、v為實(shí)數(shù),證明:u2+v2
(u+v)2
2
;(2)請(qǐng)先閱讀下列材料,然后根據(jù)要求回答問題.
材料:已知△LMN內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC,求證:△LMN中至少有一邊的長(zhǎng)不小于
1
2

證明:線段AN、AL、BL、BM、CM、CN的長(zhǎng)分別設(shè)為a1、a2、b1、b2、c1、c2,設(shè)LN、LM、MN的長(zhǎng)為x、y、z,
x2=a12+a22-2a1a2cos60°=a12+a22-a1a2
同理:y2=b12+b22-b1b2,z2=c12+c22-c1c2,
x2+y2+z2=a12+a22+b12+b22+c12+c22-a1a2-b1b2-c1c2

請(qǐng)利用(1)的結(jié)論,把證明過程補(bǔ)充完整;
(3)已知n邊形A1′A2′A3′…An′內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正n邊形A1A2…An,(n≥4),思考會(huì)有相應(yīng)的什么結(jié)論?請(qǐng)?zhí)岢鲆粋(gè)的命題,并給與正確解答.
注意:第(3)題中所提問題單獨(dú)給分,解答也單獨(dú)給分.本題按照所提問題的難度分層給分,解答也相應(yīng)給分,如果同時(shí)提出兩個(gè)問題,則就高不就低,解答也相同處理.

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設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=
2S
a+b+c
,類比這個(gè)結(jié)論可知:四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球半徑為r,四面體S-ABC的體積為V,則r=( 。
A、
V
S1+S2+S3+S4
B、
2V
S1+S2+S3+S4
C、
3V
S1+S2+S3+S4
D、
4V
S1+S2+S3+S4

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(2012•閘北區(qū)二模)如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB=2.
(1)求該正四棱錐的體積V;
(2)設(shè)E為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求異面直線AE與PC所成角θ的大小.

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(2010•通州區(qū)一模)設(shè)不等式組
-2≤x≤2
0≤y≤2
確定的平面區(qū)域?yàn)閁,
x-y+2≥0
x+y-2≤0
y≥0
確定的平面區(qū)域?yàn)閂.
(I)定義坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”.在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)整點(diǎn),求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V的概率;
(II)在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn),記此3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V的個(gè)數(shù)為X,求X的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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如圖為河岸一段的示意圖.一游泳者站在河岸的A點(diǎn)處,欲前往對(duì)岸的C點(diǎn)處,若河寬BC為100m,A、B相距100m,他希望盡快到達(dá)C,準(zhǔn)備從A步行到E(E為河岸AB上的點(diǎn)),再從E游到C.已知此人步行速度為v,游泳速度為0.5v.
(1)設(shè)∠BEC=θ,試將此人按上述路線從A到C所需時(shí)間T表示為θ的函數(shù),并求自變量θ的取值范圍;
(2)當(dāng)θ為何值時(shí),此人從A經(jīng)E游到C所需時(shí)間T最小,其最小值是多少?

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    例10  為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程,我國1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下:

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購買一套商品房,計(jì)劃貸款25萬元,其中公積金貸款10萬元,分十二年還清;商業(yè)貸款15萬元,分十五年還清.每種貸款分別按月等額還款,問:
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款,如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清;那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù):1.004455144=1.8966,1.005025144=2.0581,1.005025180=2.4651)


   講解  設(shè)月利率為r,每月還款數(shù)為a元,總貸款數(shù)為A元,還款期限為n月
  第1月末欠款數(shù) A(1+r)-a
  第2月末欠款數(shù) [A(1+r)-a](1+r)-a= A(1+r)2-a (1+r)-a
    第3月末欠款數(shù) [A(1+r)2-a (1+r)-a](1+r)-a
          。紸(1+r)3-a (1+r)2-a(1+r)-a
  ……
  第n月末欠款數(shù) 
    得:                                  

  對(duì)于12年期的10萬元貸款,n=144,r=4.455‰
  ∴
  對(duì)于15年期的15萬元貸款,n=180,r=5.025‰
  ∴
  由此可知,先生家前12年每月還款942.37+1268.22=2210.59元,后3年每月還款1268.22元.
  (2)至12年末,先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
   
  其中A=150000,a=1268.22,r=5.025‰  ∴X=41669.53
    再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元,當(dāng)月共還款43880.12元.   

    需要提及的是,本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器,就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算,這在2002年全國高考第(12)題中得到考查.

    例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),經(jīng)檢測(cè),病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡.但注射某種藥物,將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.

(1)為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物?(精確到天)

(2)第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(精確到天)

    1. <style id="kgnno"><b id="kgnno"></b></style>

      天數(shù)t

      病毒細(xì)胞總數(shù)N

      1

      2

      3

      4

      5

      6

      7

      1

      2

      4

      8

      16

      32

      64

       

       

       

       

       

       

       

       

      講解 (1)由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由

      兩邊取對(duì)數(shù)得    n27.5,

         即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.

      (2)由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,

      再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,

      由題意≤108,兩邊取對(duì)數(shù)得

           故再經(jīng)過6天必須注射藥物,即第二次應(yīng)在第33天注射藥物.

          本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”,這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.

           例12 有一個(gè)受到污染的湖泊,其湖水的容積為V立方米,每天流出湖泊的水量都是r立方米,現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù),已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水,湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +[g(0)- ]?e(p≥0),其中,g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

      (1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí),求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù); 

      (2)求證:當(dāng)g(0)< 時(shí),湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重; 

      (3)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%?

       講解(1)∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0, ∴g(0)=   .                      

      (2) 我們易證得0<t1<t2, 則

      g(t1)-g(t2)=[g(0)- ]e-[g(0)- ]e=[g(0)- ][e-e]=[g(0)- ,

      ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,

      ∴g(t1)<g(t2)    .                                                      

      故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加,污染越來越嚴(yán)重.                

      (3)污染停止即P=0,g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

      =e,∴t= ln20,

      故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.

      高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.

       


      同步練習(xí)冊(cè)答案